Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Eh oui, bien-sûr, bravo !

Bonne soirée

Bonjour,

Les questions où intervient la continuité (Brouwer, Picard, théorèmes de point fixe...) fournissent souvent des résultats pratiques saisissants.
J'ai en mémoire chez Pearson,( encore eux, désolé Michel, mais cette fois sans aucune ambiguïté de formulation), dans un préambule sur la continuité, une histoire de rencontre avec des mexicains et leurs sombreros, bien rigolote, jouant sur la continuité en deux variables ( je pourrai retrouver pour les détails).

Sinon,  une anecdote simple pour illustrer ce genre de questions:
Un randonneur part d'un point A d'une vallée à 7h et atteint le sommet B de la colline à 20 h ( déjà la bonne colline :-) ).
Le lendemain, après une bonne nuit de récupération, il refait le trajet inverse avec les mêmes horaires ( en prenant son temps, si on imagine que la descente est plus facile que la veille).
Arrivé en bas, il rencontre par hasard son prof de topologie à qui il décrit son périple , et qui lui demande :
Vous êtes vous aperçu qu'à l'aller comme au retour vous êtes passé au même endroit au même moment ?
Est-ce vrai? Pourquoi?

Par-contre j'imagine que si on considère que le papier a une certaine épaisseur, avec une couleur de variation continue via l'épaisseur pour passer du rouge au vert , en tenant compte des points de contact avec les 4 parois latérales en plus du fond, le débat est ouvert.
On doit pouvoir s'amuser avec une bande rectangulaire de pâte à modeler, style arc en ciel...

A.

Bonjour Bernard,

Cette mise en boule semble à première vue plus simple, car selon les deux axes // aux côtés du fond de la boîte, on a sauf erreur des segments emboités sur le fond de la boîte.
On doit naturellement retrouver "nos petits".

Alain

Bonjour

La projection de la  partie de papier dans la boule  qui est une projection sur le fond  est incluse dans cette projection, en commençant par la boule de papier posée sur le fond.
Sauf erreur.

A

Bonjour,

Normalement, on n'est pas obligé d'avoir des hypothèses si fortes de contraction.
On a juste à supposer que les projections planes successives s'emboitent ( c'est clair) et sont des fermés bornés.
Dans un espace complet quelconque, l'hypothèse que les diamètres sont seulement finis (sans tendre vers 0) ne suffirait pas pour que l'intersection soit non vide (voir la démonstration du théorème de Riesz). Mais dans un espace euclidien, toute intersection d'une suite décroissante de fermés bornés non vides est non vide car ce sont des compacts, ce qui permet d'appliquer le théorème des compacts emboîtés.
Maintenant il existe peut-être des pliages/froissages pathologiques dont les projections ne contiennent pas leur frontière, mais c'est difficile à visualiser pour ma part.

Bonne journée

Le problème me semble-t-il, est que c'est la somme infinie de termes qui vaut 1. Pour n"importe quel $t$ compris entre 0 inclus et 1 exclus il est possible de savoir l etat de la lampe, mais pas pour t=1.

bonjour la team
je pense  que Jai un raisonnement cohérant  qui est le suivant ;

Pour la guirlande clignotante, elle suit une série géométrique où chaque intervalle de temps est la moitié du précédent. Au temps t=1s, la somme des intervalles de temps pendant lesquels la guirlande est allumée est égale à 1. Donc, à ce moment-là, elle est éteinte.

Pour le papier chiffonné Selon le (théorème de point fixe de Brouwer) , lorsqu'on déforme continuellement une surface (comme le papier), il y aura toujours au moins un point qui reste à la même position verticale. Donc, oui, il est vrai qu'un point au moins du papier se retrouve à la verticale du point qu'il occupait lorsqu'il était à plat