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Ok j'ai compris : On pose [tex]Q(X)=-X[/tex];
[tex]P\circ Q (X)=P(-X)=\Sigma (-1)^k a_k X^k[/tex]. Or [tex]P(-X)=P(X)[/tex] donc [tex]P\circ Q=P[/tex] donc par unicité des coefficients d'un polynôme, on a pour tout [tex]k[/tex], [tex](-1)^k a_k=a_k[/tex].
Soit [tex]a_k=0[/tex] soit [tex]a_k\neq 0[/tex] et [tex]k[/tex] est pair.
Donc les coefficients non nuls de P sont des coefficients associés à des puissances paires de X.

Bonjour,
Il est clair que si tous les monômes d’un polynôme Q sont de degrés pairs alors Q est pair mais comment montre-t-on la réciproque ?

Bonjour,
Concernant la première question de ma précédente intervention, pourquoi n’a  t on pas besoin de l’hypothèse F s’annule en zéro pour montrer que l’intégrale d’une fonction impaire est paire. Si on intègre pas à partir de 0, on n’obtient pas une fonction paire ?
Merci.

Bonne nuit Rescassol,
Je te comprends mais il reste qu'il me semble que l'énoncé original est mal ficelé.

Bonsoir,
Juste une remarque relative au message 7 de Rescassol ici :

Pourquoi pas :
$P'(X)=k(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$
et continuer comme tu l'as fait en montrant que $P$ est impair ?

Bonjour,
Je rebondis sur la réponse de Rescassol.

1ère question concernant l'intégration d'une fonction paire ou impaire :

Si f est paire alors la primitive F de f qui s'annule en 0 est impaire. Pour démontrer ce résultat, on pose la fonction G qui à x associe F(x)+F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse f paire et pour montrer que G est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse F s'annule en 0.

Si maintenant on part de l'hypothèse f impaire alors on va considèrer la fonction G qui à x associe F(x)-F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle, on utilise l'hypothèse f paire mais pour montrer que la constante d'intégration de G' est nulle on n'a cette fois-ci pas besoin de l'hypothèse "F s'annule en 0". Je sais qu'une fonction paire ne s'annule pas nécessairement en 0 mais quand je fais un dessin d'une fonction f impaire, il me semble que pour avoir F paire, on doit prendre l'intégrale à partir de 0. Donc je suis confuse la dessus.

Deuxième question concernant le coefficient multiplicatif :

R(X) est donc la primitive de P'(X) qui s'annule en 0. P' étant paire, R est impaire. On a donc en toute généralité P(X)=R(X)+Cte. De plus, P(-1)=-P(1) donc Cte=0. Donc

[tex]P(x)=R(x)= \int_0^x (u^2-1)^3 du=\int_0^x (u^6-3u^4+3u^2-1) du=\dfrac{x^7}{7}-3\dfrac{x^5}{5}+x^3-x[/tex]

Par contre, je ne comprends pas votre dernière phrase "Il n'y a plus qu'à ajuster le coefficient multiplicatif" ?

Merci.

Ok merci beaucoup.

Bonsoir,

On a de façon évidente $P(1)=-1$ et $P(-1)=1$, donc deux équations pour trouver deux constantes, puis $P$.
Je ne vois donc pas d'où sort cette question 2 ni la relation mentionnée à la question 3.
Finalement $P(x)=\dfrac{x}{16}(5x^6-21x^4+35x^2-35)$.

Cordialement,
Rescassol