Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir ou bonjour à tous,

Effectivement, ce fil est tout à fait particulier !!

Si j'ai bien interprété ton paragraphe, on demande de calculer la longueur du côté [BF]. On ne demande pas explicitement de la calculer uniquement en appliquant le théorème de Pythagore. Ce qui compte, c'est les 6 cm. C'est tout ! La façon de les calculer importe en réalité peu !

Je dirais que si le prof veut tester la bonne compréhension du théorème de Pythagore, il prendra des longueurs qui ne correspondent pas à un "triangle 3, 4, 5" (pour ne pas répéter "triangle multiple du triangle 3, 4, 5").
S'il veut tester la compréhension du théorème et le sens de l'observation, qui en maths est primordial, il pourra utiliser un triangle 3, 4, 5.
Le tout, c'est d'avoir préalablement expliqué que le triangle 3, 4, 5 est un triangle rectangle (mais il est tellement mis en exergue dès le début que les élèves l'ont suffisamment intégré), et que tout triangle dont les longueurs sont un multiple de celles d'un triangle rectangle est lui-même rectangle. (Cela peut être proposé en exercice.)

Note : Bien évidemment, le triangle BOF est de mon cru. J'aime bien aussi le triangle HIE.  (Mettre l'accent ad hoc sur le E.  :-)

Ce n'est pas l'exemple qui pour moi est important : c'est de m'assurer qu'il n'y a pas cachée dans la tête de mon élève une erreur du même ordre. Je procède donc dans une logique de "déminage", et malgré ces déminages, je découvre en permanence des erreurs que je ne connaissais pas, et que je ne pouvais donc pas prévoir.

Vous ne pouvez pas imaginer l'extraordinaire créativité en matière d'erreurs et de confusions que je vois en permanence, et donc, de fait, la très faible assimilation des concepts, y compris parmi mes élèves les plus forts  !

Les deux plus jolies :

• Pour un capital initial de 1000 euros placé à 3 %, un élève de Première ES a écrit : $C_{n+1} = 1,03C_{n} + 1000$
  La prof a totalement manqué d'humour : NON ! au stylo rouge.

  « Tu te rends compte de ce que tu as écrit ? Non seulement ton capital a augmenté de 3 % à la fin de la première année, mais, en plus, la banque te verse une prime égale au montant déposé !! Donc les 3% pour l'année suivante porteront sur 1030 + 1000 = 2030 euros !! Et à la fin de la seconde année, boum, une nouvelle prime de 1000 euros ! Même l'escroc le plus talentueux n'oserait proposer un tel placement ! » (Je lui ai alors raconté Bernard Madoff.)

• Sur un exercice de contrôle de Première ES dans lequel il fallait calculer la moyenne d'une production sidérurgique à partir d'un tableau année par année, une élève a calculé... la moyenne des années.  :-)

J'ajouterai que je suis en permanence attentif à l'effet produit par mes expérimentations continuelles : si je vois que telle expérimentation est contre-productive, je l'abandonne. Donc, please, laissez-moi mener mes cours comme je l'entends ! (J'ai eu d'un seul coup envie de relire Le meunier, son fils et l'âne...)

Pourquoi ?
(Je vois pourtant dans les manuels des exercices consistant à déterminer si une ou un élève a tort ou raison en affirmant telle ou telle chose, ou d'analyser en quoi une copie est fausse. Et, comme le souligne justement Ernst, les QCM sont, par définition, bourrés de réponses fausses. Je rédige des corrigés de QCM détaillés en expliquant la logique des réponses erronées, lorsque cette logique est compréhensible : il y a parfois des réponses pour lesquelles on ne comprend pas cette logique.)

A propos du stylo rouge, je déteste l'utilisation que font les profs du rouge !

Déjà, des annotations du type "NON !", « Tu n'as rien compris ! » — mais c'est toi le prof, c'est ton métier de faire comprendre ! lorsque je me rendais compte qu'une ou un élève n'avait rien compris, c'était pour moi un drame, et je m'en excusais : « Pardon, je n'ai pas perçu que tu n'avais pas compris ! » —, « Aucun travail ! », etc. ne sont déjà pas plaisantes, alors en rouge...

(C'est d'ailleurs ce que les autres pays reprochent à la France : d'avoir une pédagogie "fouettarde", punitive.)

Sur ce, je me couche.
Bonne nuit pour les couche-tard, et bon dimanche à tous.

Bonjour,

La méthode, autrefois très en vogue, de présenter un texte avec des fautes, pour les faire trouver, expliquer, corriger est aujourd'hui (et depuis déjà pas mal de temps), bannie, proscrite...
Et on ne badine pas avec ça : l'instit, pardon, le professeur des écoles, qui se risquerait à la sortir de la naphtaline, à partir du moment où ceci remonterait jusqu'aux "bonnes" oreilles se prendrait une mercuriale dont il se souviendrait...

Quant aux Maths, si je pousse à l'extrême  (Lénine aurait, paraît-il, dit un jour : << De la caricature naît la vérité ! >>) ce que tu écris, je comprends :
* Ne pas signaler et exploiter les fautes de raisonnement, ça ne fait que les fixer,
* Ne pas utiliser de stylo rouge, ça perturbe les élèves (en 68, on avait un slogan << Laissez la peur du rouge aux bêtes à cornes ! >>).
Euh... Même si c'est pour féliciter ou prodiguer des encouragements ? Quelle(s) couleur()s alors ?..
Que dire alors du temps de ma 6e où certains profs voulaient une marge rouge de 6 carreaux à droite de la feuille ou du cahier ?

[HS] Tiens, voilà un souvenir qui remonte à la surface : j'avais complètement oublié (!). Ça remonte aux années 1980/1990 probablement et pourtant... La mémoire "artificielle" aura bien du mal à simuler la mémoire humaine...
Donc, il fut un temps, où le Lycée attribuait des "Tableaux d'honneur" et affichait la liste nominative des heureux récipiendaires sur la porte du Lycée.
Puis advint le Collège : les Conseils de Classe attribuaient le tableau d'honneur aux élèves méritants (Mais le Collège ne dressait pas de liste globale, et donc pas d'affichage public).
On adressait aussi des mentions : Félicitations, Encouragements, Avertissements pour  travail et/ou comportement, Blâme pour  travail et/ou comportement..
Un jour, tout ça fut supprimé : ça perturbait ceux qui n'avaient ni tableau d'honneur, ni Félicitations, ni Encouragements... Seuls les avertissements et blâmes étaient maintenus...
J'avais râlé : << Donc le seul mérite reconnu à un élève sans histoires et qui bosse sérieusement  voire bien, c'est d'avoir évité d'être blâmé ou averti pour son manque de travail et/ou son comportement ? Curieuse logique ! >>
En fin de compte cela aussi disparut officiellement...
Dans mon bahut (ailleurs aussi sûrement), nous avions trouvé une parade...
Exit les mentions et tableau d'honneur...
Mais le Prof Principal, après le Conseil de classe, mandaté par icelui, inscrivait au bas du bulletin trimestriel une appréciation globale du type : Le conseil de Classe te félicite... ou Le conseil de Classe a noté les efforts produits et t'encourage à... ou encore se fendait d'une mise en garde...
Pourquoi ? Et bien, officiellement, les élèves qui n'avaient ni Félicitations ni Encouragements se sentaient dévalorisés, montrés du doigt (c'était quand même "un peu" exagéré"...).
[/HS]

Ça par contre, ça me reste tellement sur l'estomac que je ne vais pas commencer un débat pédagogique : vous en auriez pour 3 pages...

J'espère que l'un de mes petits camarades va ouvrir un débat là-dessus (Nouvelle discussion obligatoire et j'y participerais ponctuellement en essayant de rester sobre et concis (ça risque d'être dur, je me connais trop bien !).

Ah... Peut-être qu'une idée d'amorce va me venir, je sens comme un frétillement au bout de ma ligne ^_^...

@+

Pour moi, une erreur, une confusion, une mauvaise compréhension sont toujours des enseignements qui me permettent d'enrichir mon "herbier" : si tel élève a pu faire telle erreur ou telle confusion, un autre élève peut aussi la faire. Je préviens donc mes élèves : « Attention à telle erreur ou à telle confusion, je l'ai déjà rencontrée ! »

J'utilise aussi mes propres erreurs — j'en fait, en particulier lorsque mon état de fatigue est significatif — comme outils pédagogiques : « Tu vois qu'on peut facilement faire cette erreur. Tu m'as vu la faire en direct. »

Amis des discussions, bonjour.

Le présupposé de tous ces échanges, c’est que l’élève standard existerait, que vous l’avez rencontré, et vous en êtes à discuter la meilleure façon de faire passer une notion particulière. Sauf que voilà, ce qui va marcher avec l’un peut très bien être inopérant avec un autre.

Fondamentalement, un élève n’a aucune idée de la justesse de ce qu’il écrit (sinon il ne serait plus élève) il sait simplement que :
- les problèmes qu’on lui pose ont une solution
- que cette solution est inutile, c’est sa construction qui compte
- que toute explication attire du rouge

Exemple, réduire 1666/6664. Je peux simplifier quand il y a la même valeur au numérateur et au dénominateur, donc en supprimant les 6 les uns après les autres j’obtiens 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4. Je connais la règle, j’explique bien, toutes les égalités sont parfaitement justes, et pourtant j’ai du rouge...

Autre exemple, résoudre x² = 25. Je simplifie en supprimant le 2 dans les deux membres, la bonne réponse est donc x = 5. Là encore c’est parfaitement juste, et pourtant là aussi pof, du rouge...

On s’étonne après cela que je n'y comprenne rien ! :-)

P-S : tiens, quand aujourd’hui j’apprends qu’en maths à l’école on est dernier et avant-dernier de l’Union Européenne, moi je dis bien fait. La méthode plutôt solide qui consistait à apprendre par cœur tables et formules a si bien été combattue par tous les pédagos qu’on a finalement ce que l’on mérite.

Concernant les trois théorèmes des milieux, j'explique qu'il peuvent s'appliquer à n'importe quel rapport, la condition impérative étant, naturellement, que les rapports soient comptés à partir d'un même sommet. On pourrait donc énoncer les "théorèmes des trois-cinquièmes" ou les "théorèmes des neuf-quarts".
Les élèves comprennent parfaitement que ces extensions relèvent de la logique du théorème de Thales.

Oui !!!

PS : Je crois que je vais investir dans l'acquisition de manuels Lebossé & Hémery. Je n'en ai malheureusement aucun.

Bonjour Cailloux,

Je suis désolé d'être désolant. :-)

Il y a semble-t-il plus de 400 démonstrations documentées du théorème de Pythagore. (J'ai un livre sur ce théorème qui présente quelques-unes de ces démonstrations.)
Personnellement, cela ne me dérange absolument pas de ne pas en connaître quelques-unes par cœur, et de ne pas savoir le démontrer face à une ou un élève. Ce qui par contre m'intéresse, c'est les logiques qu'on peut déduire de ce fameux théorème.

Bonsoir (ou, plus probablement, bonjour)

Fichtre ! Que d'échanges de pavés je provoque ! Borassus génère souvent des débats enflammés ; celui-ci n'est pas mal dans le genre.  :-)

Tout d'abord, Doc, tu me reproches de me bousiller la santé. Rassure-toi, je me suis grandement assagi depuis "l'incident" et ne cours pas les cours jusqu'à point d'heure — à un moment, je me suis rendu compte qu'en dehors du dimanche soir, je n'avais pas une seule soirée chez moi —, même si mes journées commencent souvent vers 6 h 30 et se terminent souvent vers 1 h 30, voire 2 h 15. (Je consacre en ce moment beaucoup d'heures à une interface html-css sophistiquée nécessitant un code JavaScript de technicité relativement élevée. Un grand merci à ChatGPT sans lequel ce développement aurait été considérablement plus difficile.)
Mais écrire jusqu'à quatre heures du matin pour répondre à ce sacré Borassus n'est peut-être pas ce qu'il y a de mieux en termes de santé ? :-)

Doc, tu m'as convaincu : j'insisterai auprès de mon élève actuel et auprès de mes éventuels futurs élèves collégiens que les questions de type « Calculer la longueur de tel côté d'un rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés » ou « Déterminer si tel rectangle dont on connaît les longueurs des trois côtés est rectangle ou non » sont destinées à s'assurer que les élèves maîtrisent bien le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée.
Je préviendrai aussi, ce que je fais d'ailleurs systématiquement, qu'une proportion importante d'exercices sont basés sur le triangle 3, 4, 5, qu'il faut apprendre à les repérer facilement, ne serait que pour savoir rapidement à quelle valeur ou à quelle déduction on doit aboutir, et que court-circuiter la question peut être mal vu.

Je rappelle en outre que mon message n°2, qui modérait en quelque sorte le premier, était libellé

Je maintiens cependant qu'il est à mon sens pertinent d'expliquer que tout triangle rectangle dont les trois côtés sont un multiple (au sens large : multiplicateur plus grand que 1, ou plus petit que 1) du triangle 3, 4, 5 est un triangle rectangle auquel on peut donc appliquer le théorème de Pythagore.

Je ne saurais répondre ce soir à tous les points que tu soulèves, d'autant plus que je commence à sentir l'heure — il est presque minuit —, m'étant levé à 6 h 15. (Oui, rédiger des réponses fournies demande beaucoup de temps. C'est pour cela que j'avais "feuilletonné" mes réponses.)

Un point toutefois auquel je souhaite répondre : je ne fais rigoureusement pas de "vulgarisation" et cherche au contraire en permanence à montrer que les formules qu'on fait apprendre sont limitées à des cas particuliers, et à élargir autant que possible les concepts enseignés en classe.
Ce n'est, par exemple, pas de la vulgarisation que de faire dériver un produit de trois fonctions composées, de développer une somme de quatre termes élevée à la puissance 2 ou 3, de faire étudier un polynôme du second degré dont la variable est la racine d'un polynôme du second degré, de faire dériver une fonction composée à six ou sept niveaux d'imbrication, de faire dériver une fonction fantaisiste multi-composée de trois variables, de faire calculer une intégrale triple, etc.
C'est en proposant des exercices délirants que je fais comprendre le cours vu en classe. Et mes délires n'ont strictement rien à voir avec de la "vulgarisation".

Justement, à propos d'élévation d'une somme au carré : Je n'ai pas encore vraiment lu en détail la discussion du forum Café mathématique citée par Yoshi et intitulée "Factorisation "intuitive", mais j'ai immédiatement "percuté" sur la phrase de Zebre57

phrase qui répond à point nommé à mon interrogation

Pas une seule fois, je n'ai vu un élève de Terminale sachant développer $(a + b + c)^2$ !!
Pourtant, dès que j'écris $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$, les élèves, collégiens comme lycéens, sans exception, comprennent en moins de deux secondes la logique du développement : les carrés d'abord, deux fois le produit des deux termes ensuite.
Très bien ! Comment maintenant développes-tu $(a + b + c)^2$ ? Deux secondes de réflexion, et hop, ils me dictent, $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
Très bien ! Et maintenant, comment développes-tu $(a + b + c + d)^2$ ? Là il faut trois ou quatre secondes pour comprendre la systématisation : $a$ multiplié par les termes $b$, $c$, $d$ ; $b$ multiplié par les termes $c$ et $d$ ; $c$ multiplié par seulement $d$.
Très bien ! Et maintenant $(5a - 3b - 7c + 10d)^2$ (ou n'importe quel somme qui me passe par la tête).

En moins de trois minutes, cinq si l'exercice proposé est fastidieux, ils comprennent la logique générale du développement d'une somme d'un nombre quelconque de termes élevée au carré, et comprennent que si la somme est composée de seulement deux termes, il n'y a qu'un seul produit de type 2 fois le produit de deux termes différents, signe compris. Exit donc les deux formules ! Il n'y a rien à apprendre, juste une logique générale à comprendre.

Est-ce là une difficulté insoutenable, réservée à une élite au QI particulièrement élevé et bénéficiant d'un contexte socio-économique plus que favorable ? Pourquoi quasiment aucun élève de Terminale ne sait développer $(a + b + c)^2$ ???
Et cette explication est accessible aussi bien en cours particulier, en stage de vacances ou en classe.

Note : Le public des stages de vacances n'est pas toujours facile. Le plus souvent, les élèves n'ont pas demandé à suivre un stage pendant leurs vacances, ou fin de vacances en été. Régulièrement, j'ai un ou une élève qui d'emblée veut saborder le stage en ayant une attitude qui montre à quel point il ou elle s'en bat une certaine partie de son anatomie. Puis à un moment, il ou elle se prend au jeu que je propose, commence à avoir plaisir à comprendre, et devient presque intenable : il ou elle veut toujours répondre, explique aux autres, veut des exos encore plus délirants. Tu n'as pas idée, et Yoshi le confirmera sans doute, à quel point les élèves peuvent avoir plaisir à comprendre !
(J'ai le souvenir d'une fille, de Première je crois, qui au début était parfaitement réfractaire et désagréable. A la fin du stage, elle s'est jetée à mon cou, et m'a, sous le regard étonné des autres stagiaires, déposé un énorme poutou sur la joue. :-)

Sur ce, je vais commencer à me préparer au dodo. (Cela fait presque 19 heures que je veille, et il est presque 1 h 30.)

PS : Je serai à l'extérieur quasiment toute la journée de demain. Je ne pourrai donc vous lire et répondre qu'en soirée.