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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

bridgslam
04-09-2024 23:59:08

Bonsoir ,

Votre proposition R(x) = ( P(x) => Q(x) )à prouver est une implication, qui ne dépend que de la variable x, et vous devez donc montrer que R est vraie pour tout x.
Deux possibilités :

C'est gagné d'emblée si x est négatif ou nul (rien à faire).
En effet Q(x) est vraie  donc l'implication aussi.
Si x>0, P(x) est faux car un nombre str. positif n'est jamais inférieur ou égal à sa moitié (epsilon particulier choisi, qui est bien un réel >0).
P(x) étant faux , l'implication est vraie.
L'implication est donc vérifiée pour tout x.

La preuve par contraposée revient à montrer l'implication contraire mais portant sur les contraires.
C'est du même acabit.

Remarque: la preuve par contraposée revient à ne prendre en compte que la deuxième partie du raisonnement précédent, normal vu le "rien à faire",  mais sous-jacent se trouve déjà la propriété des réels: soit x est négatif ou nul , soit x>0, c'est donc bien son contraire.
On n' aurait pas la même implication dans $\mathbb{Z}$ (en considérant aussi epsilon entier relatif ), vous prouverez juste que x est plus petit ou égal à 1.
La question initiale (pour les réels) fait donc appel à des propriétés nettement plus riches que si vous vous placiez dans
$\mathbb{Z}$.
Essentiellement, l'implication est vraie car l'ensemble tot. ordonné des réels est tel que {$\epsilon$>0} n'a pas de plus petit élément, au contraire de l'ensemble des relatifs.
Par-contre la propriété serait vraie en se plaçant dans $\mathbb{Q}$ comme vous pourrez le vérifier.

A.

nirmata
04-09-2024 22:33:58

J’aurai ajouté : « … signifie que x est plus petit ou égal à epsilon » comme il est écrit dans l’énoncé le problème pour moi c’est que si on ajoute ce « égal », alors il est possible que x soit positif. C’est juste ce signe inférieur ou égal qui me dérange et que je ne comprend pas.

Roro
04-09-2024 21:54:02

Bonsoir,

En fait, tu veux démontrer que si $x$ est plus petit que n'importe quel nombre positif alors ce même $x$ est forcément négatif ou nul.

Une preuve simple est effectivement, comme tu le suggérais de procéder en prouvant la contraposée.

Si tu veux comprendre le sens direct, alors il faut que tu comprennes que dire "$\forall \varepsilon>0 \quad x\leq \varepsilon$" signifie que $x$ est plus petit que tous les nombres positifs. Donc $x$ est plus petit que $1$, mais aussi plus petit que $0.1$, mais aussi plus petit que $0.0000001$, etc.

Roro.

nirmata
04-09-2024 21:47:35

Bonsoir E, désolé pour la confusion mais je parlais de l’énoncé du départ. Je m’explique on a que epsilon est strictement supérieur à 0 et que x est inférieur ou égal à epsilon dans le cas où x égale epsilon comment peut on arriver à montrer que x est inférieur ou égale à 0 alors que epsilon est positif ?

Eust_4che
04-09-2024 21:41:39

Bonjour tout le monde !

"Il existe un $\varepsilon$ tel que ..." On sait qu'il existe un tel réel, mais on a aucune information sur celui-ci. C'est peut-être $10$, $2/10$, $\pi$, $\sqrt{2}$, ou que-sais-je... On sait seulement que l'on a $x > \varepsilon$. Ce ne peut donc pas être $x$.


E.

nirmata
04-09-2024 20:23:59

Re-bonsoir, merci pour vos réponses. Ça m’a aidé à mieux comprendre l’exercice. En revanche, je ne comprend pas pourquoi cette implication est vraie dans le cas où ε=x. Merci

Roro
04-09-2024 09:39:29

Re-bonjour,

nirmata00 a écrit :

Voici ma contraposée :
x>0 ⇒ ∃ ε<0 x>ε

Il y a une erreur dans ta contraposée : le contraire de $\big[ \forall \varepsilon>0 \quad \mathcal P(\varepsilon) \big]$ est $\big[ \exists \varepsilon>0 \quad non\mathcal P(\varepsilon) \big]$...

Par exemple, le contraire de "tous les gros chiens sont gris" est "il existe un gros chien qui n'est pas gris"... et on ne parle jamais des petits chiens !

Roro.

nirmata00
04-09-2024 09:20:39

Voici ma contraposée :

x>0 ⇒ ∃ ε<0 x>ε

Ce qui est évident c’est pourquoi je ne comprend pas.
De plus dans la correction jai : ∃ ε>0 et je ne comprend pas pourquoi le signe est de ce côté.

Roro
04-09-2024 07:49:25

Bonjour,

Si la contraposée est fausse, c'est que ton assertion est aussi fausse ! C'est le principe de montrer un résultat en utilisant la contraposée : en fait c'est juste une autre formulation équivalente.

De manière générale $\big[ A \Rightarrow B \big]$ est équivalent à $\big[ (non B) \Rightarrow (non A) \big]$.

Dans ton problème, tu veux montrer que $(\forall \varepsilon >0~ ,~ x\leq \varepsilon ) ~\Rightarrow ~ (x\leq 0)$.

Comment as-tu écrit la contraposée ?

Roro.

nirmata
03-09-2024 23:52:39

Bonsoir, j’ai une question assez simple que je ne comprend pas. J’ai une correction qui permet de résoudre lexo par contraposee mais la controposée proposée m’a l’air fausse.
voici lexo

soit x un reel. démontrez que (Pour tout epsilon > 0 , x<=epsilon ) implique (x<=0)

merci pour vos réponses

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