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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bibmgb
- 02-09-2024 14:43:37
Merci pour ces précisions.
- bridgslam
- 30-08-2024 07:28:56
Bonjour,
La suite 1,-1,1,-1,....ne converge pas , oscille indéfiniment, mais vous n'avez pas non plus la propriété évoquée... avec inégalité stricte en tous cas.
Noter que vous supposer la suite minorée dans votre question
.
Autre exemple , une suite qui pour les indices n pairs vaut 1-1/n, sinon vaut 2....
On comprend mieux la question en sachant que lim inf et lim sup ( bornes des valeurs d'adhérence ) sont en fait des min et des max car elles en sont, avec un peu de topologie.
A.
- bibmgb
- 30-08-2024 06:51:39
Bonjour,
Je m'imaginais des cas de suites qui ne convergent pas et qui oscillent entre leurs limite supérieure et inférieure.
Mais effectivement, si on prend par exemple une suite strictement croissante de limite [tex]\ell[/tex] alors [tex]\inf\{a_k,k\geq n\}=a_n[/tex]
et [tex]\sup_{n\geq 0}a_n=\ell[/tex] donc la limite inférieure est [tex]\ell[/tex], elle n'est jamais atteinte et n'est jamais dépassée.
- bridgslam
- 29-08-2024 18:34:32
Bonsoir
Pour la question c'est faux (sauf si la lim inf est $-\infty$ bien-sûr ) dans le cas fini.
Il suffit de considérer une suite convergente qui tend vers sa limite par valeurs inférieures.
Il n'y a même aucun indice pour dépasser la limite.
Par-contre, la suite dépasse toute valeur str. inférieure à la limite inférieure ( si elle est finie) à partir d'un certain rang, et demeure inférieure à toute valeur str. supérieure pour une infinité d'indices.
Résultats bien utiles.
Le contexte est cependant plus clair en précisant que vous supposez des suites de lim inf finies, car ce n'est pas toujours le cas atomatiquement.
A.
- Eust_4che
- 29-08-2024 14:56:39
Bonjour,
Je pense que la question est le provient de l'absence d'image claire des différentes suites en jeu. Dans le cas contraire, la réponse serait immédiate. Que se passe-t-il pour une suite croissante ?
E.
- Bernard-maths
- 29-08-2024 13:39:27
Bojour !
je me pose la question : et si la suite est périodique ?
Ou une périodicité sur le min ?
B-m
- bibmgb
- 29-08-2024 13:25:20
Bonjour,
Étant donnée une suite [tex](a_n)[/tex], la limite inférieure de la suite [tex](a_n)[/tex] est définie par [tex]\lim\inf a_n=\sup_{n\geq 0}\inf\{a_k,k\geq n\}[/tex].
D'après la propriété de la borne supérieure on peut dire que
[tex]\forall \epsilon >0, \,\exists N\in\mathbb{N},\, \forall n\geq N, u_n\geq \lim\inf a_n -\epsilon [/tex].
Ma question : peut-on dire qu'il existe un rang à partir duquel [tex]u_n\geq \lim\inf a_n[/tex] ?
Je pense qu'il peut y avoir des suites pour lesquelles quelque soit N, il existe un n tel que [tex]u_n<\lim\inf a_n[/tex].
Mais je pose la question car je ne suis pas sûre de moi.
Merci.