Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ave Yoshissimus !

J'ai joliment souri en recevant ton entame.  :-)
Je vois tout à fait le chœur monumental qu'avait prévu Carl Orff scander
« Ave Borassissimo, desine nos vexare cum tuis nuntiis contradictionis! »
( « Salut Borassussimo, cesse de nous importuner avec tes messages de contestation ! »)
Traduction réalisée par ChatGPT.

Nous avons des façons d'expliquer qui se rejoignent dans notre désir de guider au mieux nos chers élèves.

Voici, dans la même lignée, un document de cours et une batterie d'exercices pour Erwin et pour ceux qui voudront bien les lire (et, surtout, refaire les exercices proposés par eux-mêmes ! ).

Bonne fin de soirée à tous.

Cours : https://www.cjoint.com/c/NHtvlL6TELD
Exercices : https://www.cjoint.com/c/NHtvmHy1exD

Bonsoir Erwin, bonsoir à tous,

Tu es tout excusé !

Les identités remarquables intervenant remarquablement souvent dans les exercices (et aussi dans les raisonnements), je te propose quelques façons de procéder qui pourront t'être utiles.

Tout d'abord, le célébrissime développement du carré de deux termes $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Lorsqu'il faut l'appliquer, cette formule peut être pensée comme suit : « le carré du premier terme, plus deux fois le produit des deux termes, plus le carré du deuxième terme ». Cela permet de bien coller à l'expression qu'on doit développer en suivant une démarche "robuste" qui réduit les risques d'erreur.

Le développement peut aussi être écrit de façon moins habituelle :
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
qui correspond à la logique générale du développement du carré d'une somme d'un nombre quelconque de termes : somme des carrés, plus somme de tous les produits $2 \times$ produit de deux termes différents.
(Pour une somme de deux termes, il n'y a bien sûr qu'un seul produit de deux termes.)

Cette logique permet de développer facilement, en étant juste un peu méthodique et attentif, des carrés de somme, comme par exemple
$(a + b +c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
$(a - b + c - d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ab + 2ac -2ad - 2bc + 2bd - 2cd$ 
ou encore — soyons fous ! — 
$(5 - 3x^2 -4y^3 +2z)^2 = 25 + 9x^4  + 16y^6 + 4z^2 -30x^2 -40y^3 + 20z + 24x^2y^3 - 12x^2z - 16y^3z$
$= 16y^6 + 24x^2y^3 + 9x^4 - 16y^3z - 40y^3 - 12x^2z - 30x^2 + 4z^2 + 20z + 25$

Par contre, cette logique permet de mieux repérer le carré d'une somme de deux termes :
un carré, plus un autre carré, plus (ou moins) deux fois fois le produit des deux termes = carré de la somme (ou de la différence) des deux termes.
Exemple : $-12x + 4x^2 + 9 = (2x)^2 + 3^2 - 2 \times (2x) \times 3 = (2x - 3)^2$

Cette façon de faire permet notamment de factoriser des expressions telles que
$9(x-1)^2 + 12x - 4x^2 - 9$
(Surtout ne pas développer !! L'exercice n'est pas conçu dans ce sens.)

La deuxième identité importante, la différence de deux carrés, fera l'objet du message suivant.

Bonne soirée.

Bonsoir,

Voici quelques façons (non exhaustives) de traduire en égalités vectorielles les informations donnés dans un exercice :

• Milieu d'un segment
  I milieu de [AB] se traduit par
  $\vec {AI} = \vec {IB}$
  $\vec {AI} = \dfrac 1 2 \vec {AB}$,   d'où $\vec {AB} = 2 \vec {AI}$    idem pour $\vec {IB}$
  $\vec {IA} + \vec {IB} = \vec 0$    (égalité très souvent utilisée)

• Point divisant un segment en deux parties inégales
  $\vec {AK} = \dfrac 2 3 \vec {AB}$  se traduit par :
  $\vec {AB} = \dfrac 3 2 \vec {AK}$
  $\vec {KB} = \dfrac 1 3 \vec {AB}$   d'où $\vec {AB} = 3 \vec {KB}$
  relation reliant les deux parties entre elles très souvent oubliée dans le travail préparatoire. Or c'est précisément cette relation qui permet souvent de résoudre l'exercice !  :  $\vec{AK} = 2 \vec {KB}$   d'où $\vec {KB} = \dfrac 1 2 \vec {AK}$

• Même type de raisonnement avec un point à l'extérieur du segment
  Par exemple $\vec {AK} = \dfrac 5 3 \vec {AB}$

• Milieu d'un côté d'un triangle
  Si dans le triangle ABC I est le milieu de [BC]   $\vec {AB} + \vec {AC} = 2 \vec {AI}$
  relation très souvent utilisée

• Vecteur joignant les milieux de deux côtés d'un triangle
  J milieu de [AB] et K milieu de [AC] se traduit par $\vec {JK} = \dfrac 1 2 \vec {BC}$

• Centre de gravité d'un triangle
  Se souvenir qu'il se trouve à $\dfrac 2 3$ de n'importe quelle médiane (en partant du sommet dont elle est issue), et donc à $\dfrac 1 3$ de la base de celle-ci.

Important : Utiliser principalement les relations de Chasles qui mènent à des vecteurs établis lors de la phase préparatoire. (Le risque avec des relations de Chasles successives est de revenir au vecteur de départ, ce qui est très désagréable.)

Important aussi : Si on a l'impression de patiner, c'est probablement parce qu'on a oublié une égalité vectorielle dans le travail préparatoire.

Ce travail préparatoire peut paraître long. En fait, c'est un travail qui s'avère souvent très rentable car il permet de résoudre facilement des exos !

Ce serait peut-être plus simple que tu nous dises quelles sont justement ces notions que tu as l'impression de ne pas maîtriser.

Ayant l'habitude de faire à mes élèves une "visite guidée" de ce qu'ils verront en classe, j'ai embrayé, peut-être un peu vite, sur cette demande.
D'autant plus que j'ai eu quelques élèves de Seconde qui voyaient effectivement cette notion de forme canonique en cours.
(C'est pour cela que j'avais indiqué « Si ce n'est pas déjà fait, »)

Dis-moi si tu souhaites que je continue (un peu) sur le seconde degré.

DeGeer a raison, revois le calcul littéral (notamment les identités remarquables, dans les deux sens, et les factorisations) et les fonctions — bien comprendre qu'il s'agit d'une logique de calcul, peu importe comment est désignée la variable, $x$, $s$, $t$, voire $s^2$ ou $3t - 2$ —, notamment les notions d'image et d'antécédent.

Pour ce qui est des vecteurs, je compte écrire un texte sur la façon de traduire les éléments d'un énoncé en égalités vectorielles. Car c'est souvent dans ce travail préparatoire que réside la solution de l'exercice, ou de la question.

(Les exercices de géométrie vectorielle sont une excellente source de "patinage" énervant. Et rien n'est plus rageant, après toute une série de transformations, que de retomber sur $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$. Surtout en contrôle !)

Je ne sais pas s'il est pertinent de prendre de l'avance sur le programme si les bases ne sont pas parfaitement maîtrisées. Je pense qu'il vaut mieux revoir en profondeur le calcul littéral, les fonctions, et éventuellement les vecteurs, en faisant des exercices d'entraînement sur ces notions.

Bonjour Erwin, bonjour à tous,

Pardon, je n'ai pas eu hier la possibilité de te répondre. Je vais essayer de te fournir le plus d'indications possibles, en toutefois un certain lot de messages pour faciliter l'écriture (pour moi) et la lecture (pour toi et pour vous).

Tout d'abord, bravo pour ton 15 de moyenne dans une matière où tu avais le plus de difficulté !

Premier sujet à travailler : le second degré $ax^2 + bx + c$, qui est un thème-clé en Première, en Terminale et au-delà. (Un grand nombre d'exercices incluent le second degré, directement ou indirectement, y compris en Prépa.)

Tout d'abord, savoir éviter deux erreurs classiques avec la fonction carré :

• Ecrire sans précaution que si $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$.
  C'est vrai si $a$ et $b$ sont tous deux positifs ;
  c'est faux si $a$ et $b$ sont tous deux négatifs  (exemple : $-3 < -2$, mais $(-3)^2 > (-2)^2$ ;
  et c'est faux si $a$ est négatif et $b$ positif, avec $|a| > |b|$ (exemple : $-5 < 3$ mais $(-5)^2 > 3^2$.

• Ecrire que si la variable évolue entre $a$ négatif et $b$ positif, le résultat évolue entre $a^2$ et $b^2$.
  Exemple d'erreur : $x \in [-3 \: ; \: 4] \Rightarrow f(x) \in [9 \: ; \: 16]$.
  Le point traçant la courbe partant de $(-3 \: ; \:9)$ est obligé de passer par le minimum $(0 \: ; \: 0)$ avant de remonter au point $(4 \; ; \: 16)$
  Donc $f(x) \in [0 \: ; \: 16]$.

La suite suit.

Salut à tous,

Je passe en classe de première cette année et j'ai choisis là spé math, j'avais des plutôt pas mal en seconde (15 de moyenne en maths) mais c'était l'une des matières sur laquelle j'avais le plus de difficultés. J'ai aussi l'impression de ne pas maîtriser certaines notions que j'ai appris cette année
J'ai donc envie de réviser pendant les vacances pour avoir une meilleure moyenne en 1ere.

J'aurais besoin de l'aide des membres de ce forum pour certains points :
J'aimerais savoir quelles sont les notions essentielles que je dois revoir pendant ces vacances (celles qui reviendront forcément)
Si possible aussi je voudrais savoir quels chapitres de première je devrais réviser en avance selon vous.

Merci pour toutes les réponses que je recevrai