Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Et l'argument de la non-existence d'application injective continue prend tout son sens à la vue de cette fonction discrète. Merci.

Cela éclairci votre propos effectivement. Donc cela nous permet d'exclure les cas des applications continues, puisqu'il n'en existe pas.
Cela ne me surprend pas car historiquement Cantor a démontré que $\mathbb{R}$ est en bijection avec $\mathbb{R}^2$ en utilisant le fait que
$\mathbb{R} ←→\mathcal{P}(\mathbb{N}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}^*-) \times \mathcal{P}(\mathbb{Z^+})$

$\mathbb{R} ←→ \mathcal{P}(\mathbb{N})^2 ←→\mathbb{R}^2$

On dirait que tu ne lis pas ce que j'écris. Alors je le réécris, et de façon plus explicite.
J'affirme que le théorème de l'invariance du domaine entraîne qu'il n'existe pas d'application injective continue de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$.
Supposons en effet qu'une telle application $f$ existe. Définissons l'application $g : \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ par $g(x,y) = (f(x,y), 0)$. Alors $g$ est injective continue. Donc, par le théorème d'invariance du domaine, $g(\mathbb R^2)$ est un ouvert de $\mathbb R^2$. Or l'image de $g$ est contenue dans $\mathbb R \times \{0\}$ ...
Ça y est tu as compris ?
Le raisonnement montre en fait qu'une injection de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ ne peut être continue sur aucun ouvert de $\mathbb R^2$.

Visiblement il va falloir que je donne un autre contre-exemple concernant le fait qu'on ne puisse pas appliquer le théorème à des espaces de dimensions différentes... :

Soit $g : ]–2,1[ \rightarrow \mathbb{R}^2$, avec $g(t) = (t^2 – 1, t^3 – t)$. Eh bien, g est injective et continue, mais n'est pas un homéomorphisme de $]–2,1[$ vers son image. Or l'image ici est une portion de toxoïde (cubique duplicatrice), et la limite de $g$ en 1 est le point double $g(–1)$, ce qui montre que $g^{−1}$ n'est pas continue en ce point.

De plus, à aucun moment je n'ai précisé que nous munissions les espaces considérés de topologies, puisque la continuité de l'application recherchée ainsi que de sa réciproque n'est pas vraiment notre problème ici...

Ce que je dis devient limpide en invoquant le contre-exemple suivant :

Considérons par exemple l'application $f : ]0,1[ → \mathbb{R}^2$ définie par $f(t) = (t,0)$. Cette application est injective et continue, son domaine est un ouvert de $\mathbb{R}$, mais son image n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}^2$...

Bonjour,

En réalité, le théorème d’invariance du domaine ne peut pas être appliqué ici, puisque nous parlons d’espace de départ et d’arrivée ayant des dimensions différentes.
En fait je ne questionne pas l’existence d’application injective, puisqu’il existe des bijections entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ . Et ceci est avéré.

Je demande si l’un de vous en a un exemple simple…

Bonjour,

Je suis extrêmement dubitatif sur une telle explicité éventuelle.

Le fait que (pour tout ensemble E) ExE soit équipotent à E est équivalent à l'axiome du choix, qui par nature donne des résultats d'existence d'objets sans normalement possibilité de les expliciter (équivalent aussi au théorème de Zermelo, mais difficulté par exemple d'expliciter un seul exemple de bon ordre sur $\mathbb{R}$ dont le-dit théorème annonce l'existence).

Dans le carré, la courbe de Peano donne une bijection graphique entre un point et la longueur mesurée depuis O en suivant la courbe, mais je doute qu'elle ait une expression analytique simple, malgré que je ne suis pas un connaisseur des fractales du tout.

Alain