Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

1) Pour montrer que $(a_{n})$ converge, tu peux montrer que $(a_{n})$ est décroissante minorée. Soit $ n \in \mathbb{N}$ .Pour la décroissante de $(a_{n})$, il faut déterminer le signe de $a_{n+1}-a_{n}$ . Je note $ f_{n} : x \mapsto \sum_{i=1}^{n} x^{k} -1 $. Pour déterminer ce signe, tu peux montrer que la courbe représentative de $f_{n+1}$ est toujours au-dessus de la courbe représentative de $f_{n}$ donc $f_{n+1}$ s'annule avant $f_{n}$ donc $a_{n+1} \leq a_{n}$. Enfin $(a_{n})$ est minorée par 0.

2) Tu peux remarquer que $ \sum_{i=0}^{+\infty} ( \frac{1}{2})^k ) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 $ donc $  \sum_{i=1}^{+\infty} ( \frac{1}{2})^k -1 = 0 $ donc $(a_{n})$ converge vers $\frac{1}{2}$.

J'espère mon explication est compréhensible.
Respectueusement,
  BigDeal

Bonsoir,

Je pense que la suggestion de Roro était beaucoup plus simple : aucun calcul, la fonction $x\mapsto \sum_{k=1}^n x^k-1$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, vaut $-1$ en $0$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Bonjour,

Tu peux remarquer que $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} $ est une somme de termes d'une suites géométrique. On a alors $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} = \sum_{i=0}^{n} X^{k} -1 = \frac{1-X^{n+1}}{1-X} -1 $. Donc   $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} - 1 = \frac{1-X^{n+1}}{1-X} $.

Respectueusement,
BigDeal

Bonjour,

Si une fonction continue est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, négative en $0$ et tend vers $+\infty$ en $+\infty$ alors le théorème des valeurs intermédiaires (ou équivalent) te dit qu'elle s'annule exactement une fois...

Dans ton cas, tu as tellement mal écrit l'expression de ton polynôme que je ne suis pas certain de la réponse à donner. Tu pourrais l'écrire en LaTex ? ou au moins préciser s'il y a des parenthèses...

Roro.