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Bonsoir,

Je m'intéresse au théorème des résidus qui s'énonce dans mon cours de la façon suivante :

Soit [tex]\Omega[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] et soit f une fonction holomorphe sur [tex]\Omega-S[/tex] où [tex]S[/tex] est un ensemble fermé de [tex]\Omega[/tex] sans point d'accumulation dans [tex]\Omega[/tex]. Soit également [tex]K\subset \Omega[/tex] un domaine élémentaire, et supposons que [tex]\partial K[/tex] ne contienne aucun point de [tex]S[/tex]. Alors [tex]S[/tex] n'a qu'un nombre fini de points dans [tex]K[/tex] et on a [tex]\int_{\partial K}f(z)dz=2i\pi \sum_{a\in K\cap S}Res(f,a)[/tex].

On souhaite maintenant appliquer ce résultat au calcul de l'intégrale sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de [tex]f[/tex], où [tex]f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}[/tex] est une fraction rationnelle sans pôle réel, avec [tex]deg(Q)\ge deg(P)+2[/tex]. On note [tex]P^+[/tex] l'ensemble des pôles de [tex]f[/tex] à partie imaginaire strictement positive. Alors [tex]\int_{-\infty}^{+\infty}f(z)dz=2i\pi \sum_{a\in P^+} Res(f,a)[/tex].

Voici le début de la preuve.

On considère le domaine élémentaire [tex]K_R=\{z\in \mathbb{C}, |z|\le R et Im(z)\ge 0\}[/tex].
La fonction [tex]f[/tex] est holomorphe sur [tex]K_R-P^+[/tex], donc par le théorème des résidus, on obtient : [tex]\int_{\partial K_R}f(z)dz=2i\pi \sum_{a\in P^+} Res(f,a)[/tex].

Bon, déjà, mon premier problème est de comprendre qui est qui dans le théorème des résidus.

Je ne vois pas qui jouent le rôle de [tex]\Omega[/tex] et de [tex]S[/tex]. Je tourne en rond.

Merci d'avance !