Forum de mathématiques - Bibm@th.net

La situation que tu décris repose sur une compréhension des résultats de Gödel et de Cohen concernant l'hypothèse du continu (CH, pour "Continuum Hypothesis") et peut sembler paradoxale. Clarifions cette question de manière plus précise :

1. Gödel (1940) : Gödel a prouvé que l'hypothèse du continu est consistante avec les axiomes de la théorie des ensembles ZFC (Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix). Autrement dit, si ZFC est consistante (c'est-à-dire, ne mène pas à une contradiction), alors ZFC ne peut pas démontrer que CH est fausse.

2. Cohen (1963) : Cohen a prouvé que l'hypothèse du continu est indépendante des axiomes de ZFC. Cela signifie qu'il est également possible d'avoir un modèle de ZFC où CH est fausse. En d'autres termes, ZFC ne peut pas démontrer que CH est vraie.

Ces deux résultats combinés montrent que CH ne peut ni être prouvée ni réfutée à partir des axiomes de ZFC. Autrement dit, ZFC est incomplet en ce qui concerne l'hypothèse du continu.

Concernant l'argument que tu proposes :

- Tu supposes que tu trouves un ensemble dont le cardinal est strictement compris entre celui de $\mathbb{N}$ et celui de $\mathbb{R}$.
- Si tel était le cas, cela contredirait ce que Gödel a prouvé, car il a montré qu'il est consistant de supposer qu'un tel ensemble n'existe pas (CH est vraie dans certains modèles de ZFC).
- Tu conclues qu'il est impossible de trouver un tel ensemble, ce qui semble démontrer CH.

Ce raisonnement semble logique, mais il ne tient pas compte de la nature des modèles mathématiques :

- Ce que Gödel a montré, c'est qu'il y a des modèles de ZFC où CH est vraie (pas d'ensemble de cardinal intermédiaire), mais cela n'exclut pas l'existence de modèles où CH est fausse (il y a un ensemble de cardinal intermédiaire).

- Ce que Cohen a montré, c'est qu'il existe également des modèles de ZFC où CH est fausse (donc il y a des ensembles de cardinal intermédiaire).

Ainsi, ton hypothèse initiale (trouver un ensemble de cardinal intermédiaire) est possible dans certains modèles de ZFC. Cela ne contredit pas Gödel ou Cohen, mais souligne l'indépendance de CH vis-à-vis de ZFC.

En résumé, ce paradoxe apparent est résolu en reconnaissant que les résultats de Gödel et de Cohen montrent la flexibilité des modèles de ZFC : certains modèles satisfont CH (pas d'ensembles de cardinal intermédiaire), tandis que d'autres ne la satisfont pas (il y a de tels ensembles). Cela ne signifie pas que tu as prouvé CH en général, mais plutôt que la vérité de CH dépend du modèle spécifique de la théorie des ensembles que tu considères.