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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Roro
- 04-05-2024 20:05:48
Bonsoir Le_R,
Merci pour ce retour.
Ainsi, la réponse attendue à la question :
1. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_n$ et déterminer sa limite éventuelle.
était de simplement donner une conjecture ! Pour moi, ce n'est pas vraiment le sens de cette question car le terme "étudier" ne demande pas simplement de conjecturer un résultat.
Roro.
- Le_R
- 04-05-2024 15:48:50
Clap de fin !
Il semblerait que la réponse ait été satisfaisante (conjecture + démonstration des point 2 et 3 permettant de démontrer le point 3) !
Merci encore à tous !
Bonne jorunée,
R.
- Le_R
- 28-04-2024 10:53:16
Bonjour,
Déjà merci à vous trois à la fois pour la qualité de vos réponses (et pour le PDF Borassus !) et pour votre bienveillance !
J'ai complété ma réponse avec des élements issus de nos échanges et envoyé ma copie; correction le 30/04.
Je reviendrai ici avec les remarques du prof (et qui sait, des détails plus précis de ce qui etait attendu !).
Et merci Roro égalment pour les exercices, je vais y jeter un oeil mais en y consacrant un créneau de temps digne de ce nom (je vois qu'interviennent 2 notions nouvelles pour moi : stabilité des intervalles et fonctions composées utilisées dans les suites).
Encore un grand merci à tous !
Bonne journée,
R.
- Roro
- 27-04-2024 21:51:35
Bonsoir,
Pour conclure cette histoire car on a à peu près tout dit : les deux méthodes que j'évoquais sont illustrées respectivement dans les exercices hyper classiques 5 et 13 de la page suivante : ici.
Laissons maintenant Le_R nous dire ce qu'il en pense...
Roro.
- Borassus
- 27-04-2024 21:29:46
Peut-être faut-il appliquer la méthode aux rangs pairs, et la réappliquer aux rangs impairs ?
- Borassus
- 27-04-2024 21:22:00
Point (très) important : lorsqu'on a affaire à une fonction homographique $f(x) = \dfrac {ax + b} {cx + d}$ , il est souvent très utile de la réécrire en $\alpha + \dfrac {\beta}{cx + d}$.
Dans le cas présent : $\dfrac {6x + 14} {x + 1} = \dfrac {6(x + 1) + 8}{x + 1} = 6 + \dfrac 8 {x + 1}$
Est-ce que cela peut aider ?
Ps : Je sais que j'ai parfois rencontré chez des élèves de Terminale des suites homographiques "en escargot" sur lesquelles on avait peiné, mais je ne me souviens pas d'avoir rédigé une résolution. Je vais néanmoins chercher dans ma littérature.
- Borassus
- 27-04-2024 21:10:02
Effectivement, je n'avais pas cherché à visualiser les courbe $y = f(x)$ et $y = x$ et à faire démarrer la suite à 1. (Et je n'avais pas non plus suffisamment mémorisé le début de la discussion.)
L'équation $f(x) = x$ possède deux solutions : $-2$ et $7$.
Si la suite converge, la suite converge obligatoirement vers l'un de ses deux points fixes.
Peut-être essayer de démontrer par l'absurde qu'elle ne peut converger vers $-2$ ?
Oui, comme Le_R l'a semble-t-il fait, il faut démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique. (Pour cela, il faut écrire $u_n$ en fonction de $v_n$.)
Cela permet d'écrire le terme général $v_n$ en fonction de $n$, et d'en déduire le terme général $u_n$, ce qui permet de déterminer sa limite égale à $7$.
Je comprends maintenant, Roro, pourquoi l'ordre des questions pose problème.
Peut-être faut-il étudier tout simplement la suite définie par $u_n - 7$ et montrer qu'elle tend vers 0 ?
- Roro
- 27-04-2024 20:37:14
Re,
La question est bien compatible avec la méthode que j'indique.
Mais la suite $(u_n)$ n'est pas monotone : elle n'est ni croissante, ni décroissante. Ca ne rentre donc pas dans un de tes deux cas !
Roro.
- Borassus
- 27-04-2024 20:01:14
Bonsoir Roro,
Merci de ta réponse.
Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite éventuelle.
La question est bien compatible avec la méthode que j'indique :
il faut essayer de démontrer l'un des deux encadrements entre 1 et 7, ou entre -2 et 1. (La suite $(v_n)$ indique d'emblée les valeurs devant être utilisées.)
- Roro
- 27-04-2024 19:51:43
Bonsoir,
Merci Borassus pour cette contribution.
Ce genre d'exercice se résout très couramment en démontrant par récurrence l'un des deux encadrements suivants (...)
sauf que justement, dans le cas proposé ici, on n'est pas dans une de ces deux situations !
Ici, il y a deux méthodes généralement utilisées :
- Méthode 1 : introduire une suite auxiliaire $(v_n)$ comme tu le proposes dans ton document
- Méthode 2 : montrer que les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes
La méthode 1 est la plus simple mais étant données les questions suivantes, on a l'impression que ce n'est pas ce qui est attendu.
La méthode 2 n'est pas facile à intuiter au niveau lycée.
L'exercice en soit n'est pas difficile mais c'est sa structuration qui me pose question.
Roro.
- Borassus
- 27-04-2024 19:38:29
Ce genre d'exercice se résout très couramment en démontrant par récurrence l'un des deux encadrements suivants, $\alpha$ et $\beta$ étant les deux points fixes de la suite, avec $\alpha < \beta$ :
$u_0 \le u_n \le u_{n+1} \le \beta$ la suite est alors croissante et est majorée par $\beta$, donc converge vers une limite inférieure ou égale au majorant $\beta$ ;
$\alpha \le u_{n+1} \le u_n \le u_0$ la suite est alors décroissante et est minorée par $\alpha$, donc converge vers une limité supérieure ou égale au minorant $\alpha$.
La limite se calcule en résolvant l'équation en $l$ $f(l) = l$. (A la limite, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont indiscernables.)
Cette équation a deux solutions, l'une étant à l'extérieur de l'intervalle formé par $u_0$ et $\beta$, ou à l'extérieur de l'intervalle formé par $\alpha$ et $u_0$.
Comme la suite ne peut admettre qu'une seule limite, la "bonne" limite est celle se trouvant d'ans l'intervalle ad hoc.
- Eust_4che
- 27-04-2024 19:25:04
Alors tu peux proprement démontrer (avec les quantificateurs) qu'il suffit que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ aient la même limite $x_0$ pour que la suite converge vers $x_0$ !
- Borassus
- 27-04-2024 19:18:17
Bonsoir Le-R, bonsoir à tous,
Je m'insère dans la discussion (Aïe ! penseront d'aucuns. Il a un bouton "Pause" par hasard ? :-)
Voici un extrait d'un document que j'ai écrit fin 2021 à une élève de Terminale, Chloé, montrant la logique des suites homographiques :
https://www.cjoint.com/c/NDBsqOX2sXD
Il te permettra peut-être de mieux comprendre la raison d'être de la suite $v_n$, qui "ne sort pas du chapeau".
Rien qu'en voyant cette suite auxiliaire $(v_n)$, je sais tout de suite, sans le moindre calcul, que la suite $(u_n)$ tend soit vers $7$ (option la plus probable), soit vers $-2$.
- Le_R
- 27-04-2024 19:03:19
Bonjour,
J'étais resté bloqué sur mon histoire de fonction associée lorsque j'ai lu ton message Eust_4che d'où mon histoire de développement limité; je comprends maintenant le epsilon que tu évoquais.
Oui et j'ai bien cette notion en tête donné par la formule suivante dans mon cours :
$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 => |u_n - L| < \varepsilon$
Je ne vois pas non plus comment résoudre cela avec mes connaissances actuelles malheureusement.
Merci à tous pour vos réponses, je vais alors rester sur mes conjectures de sous suites paires et impaires et mon calcul de limite !
Par curiosité mathématique, comment ferais-tu alors avec des techniques avancées ?
Bonne journée,
R.
- Eust_4che
- 27-04-2024 18:14:40
Bonjour à tous,
Quand je parle d'"epsilon", je fais référence à la façon dans le supérieure (prépa ou licence) de présenter la limite d'une suite de nombre réels (ou de complexes). Intuitivement, une suite $(u_n)$ converge vers un réel $x_0$ si l'on peut rendre les termes $u_n$ aussi voisins qu'on veut de $x_0$ dès que $n$ est suffisamment grand. La notion de "voisin" s'exprime avec des "petites" distances, et les "petits" réels sont souvent notés $\varepsilon$ quand ils apparaissent. C'est pour ça que j'ai parlé d'epsilon. Rien à voir avec les notations de Landau.
Sinon, pour reprendre le problème d'origine, le fait de savoir que la suite indexée par les entiers paires, et celle indexée par les entiers impaires, ont la même limite suffit pour conclure qu'il s'agit de la limite de la suite.
Mais pour le démontrer "proprement", il faudrait déjà savoir comment démontrer "proprement" qu'une suite converge vers un réel. Et là... Ça doit dépendre de ton niveau. La monotonie de la suite le permet. Mais il s'agit d'un cas particulier et si, effectivement, la suite n'est pas monotone, ce résultat ne sert à rien.
S'il s'agit de la seule technique dont tu disposes, alors je sèche...