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MikeB
27-11-2021 21:18:03

Merci Fred pour ta réponse. Je ne comprenais pas pourquoi nombre fini n'était pas employé.

Fred
27-11-2021 19:24:52

Bonjour,

  Quand on dit "un nombre borné de termes", on veut dire un nombre fini de termes, mais où le "fini" est lui-même majoré.
Par exemple, ça ne marche pas si $v_1=u_1$, $v_2=u_2+u_3$, $v_3=u_4+u_5+u_6$, etc....
mais ça marche si parfois on prend deux termes, parfois on prend trois termes par exemple.

F.

MikeB
27-11-2021 16:46:43

Effectivement , ce n'est pas un bon exemple.
Ma question demeure sur le sens de l'expression "en regroupant un nombre borné de termes".

bridgslam
27-11-2021 14:46:30

Bonjour,

Celle que tu donnes en exemple n’a pas son terme général qui tend vers 0.

MikeB
27-11-2021 14:40:50

Bonjour à tous,

Voici un exercice et son corrigé issu du site :

Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$

Contrairement à ce qu'on pourrait penser à première vue, la série ne vérifie pas le critère des séries alternées car la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante. On peut prouver sa convergence à l'aide d'un développement limité du terme général. Toutefois, ceci ne permet pas de calculer la somme. Pour ce dernier problème, il faut regrouper deux par deux (astuce!). En effet, on a :

\[v_n=u_{2n}+u_{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{-1}{2n(2n+1)}\]

On ne change pas la nature d'une série DONT LE TERME GÉNÉRAL TEND VERS 0 en regroupant un nombre BORNÉ de termes. Ainsi, les séries de terme général $u_n$ et $v_n$ sont de même nature, et en plus elles ont même somme. Or, il est clair que la série de terme général
$v_n$
est convergente (comparaison à une série de Riemann). En outre, on peut calculer la somme de cette série. En effet,

\[V_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} v_k=\sum_{k=1}^{2p+1}\dfrac{1}{p}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}\]

Utilisant $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}=\ln n +\gamma
+o(1)$ on a :

\[V_n=\ln(2n+1)-1-\ln(n)+o(1)\]

Ainsi $V_n \rightarrow \ln(2)-1$


Je ne saisis pas le sens de l'expression "en regroupant un nombre borné de termes".

Un nombre borné de termes  i.e un nombre fini , ce qui n'est pas le cas.
Et  si on regroupe par deux les termes de la série [tex]$(-1)^n$[/tex] on obtient des résultats faux.

Je pense plutôt que l'on montre que la série est convergente alors o peut regrouper comme on le souhaite les termes de la séries sans en modifier la nature.

Qu'en pensez-vous?

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