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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MikeB
- 27-11-2021 21:22:21
Merci Fred pour ta réponse.
J'ai bien le même théorème que celui de la page mentionnée.
- Fred
- 27-11-2021 19:22:09
Bonjour,
Comme tu pourras le lire sur cette page, le changement de variables, s'il est écrit comme tu l'as fait, ne nécessite pas que $\phi$ soit bijective
(en fait, cette formule, c'est plus ou moins la formule de la dérivée d'une fonction composée, qu'on applique à $F=f\circ\phi$).
F.
- Zebulor
- 27-11-2021 19:09:25
re,
sur l'exemple d'application que tu donnes le changement de variable est non injectif sur l'intervalle d'intégration, donc non bijectif et le résultat est effectivement 1/4.
D'une manière générale je pense que la bijectivité du changement de variable n'est qu'une condition suffisante.
On doit pouvoir trouver d'autres exemples avec des fonctions trigonométriques notamment...
PS : Si dans toj exemple d'application tu déplaces les bornes d'intégrations de multiples de $2\pi$ tu retrouves encore le même résultat, ce qui peut être troublant..
- MikeB
- 27-11-2021 16:48:07
Ok bijective et de classe C1 sont différents.
La question est le changement de variable nécessite-t-il un changement bijectif ?
- Zebulor
- 27-11-2021 15:37:12
Bonjour MikeB,
Si j'ai bien compris ta question, dans le théorème que tu cites $\Phi$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle d'intégration, donc pas nécessairement bijective sur ce même intervalle.
"bijectif" n'est pas équivalent à "de classe $C^1$
- MikeB
- 27-11-2021 14:32:46
Bonjour à tous,
Faut-il préciser que la fonction utilisée est bijective lors d'un changement de variable ?
Voir un exemple ci-dessous :
Théorème : Soit $\Phi:[a,b]\rightarrow I$ une application de classe $C^1$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$.
Alors $\displaystyle \int_a^b f\circ\Phi(t)\times\Phi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}f(t)\mathrm{d}t$
Application : Calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{25\pi}{4}}\sin t\cos t\mathrm{d}t$
En utilisant $\Phi(t)=\sin t$ qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ alors $\Phi'(t)=\cos t$ et $f(t)=t$ on obtient :
$\displaystyle \int_{0}^{{\small \tfrac{25\pi}{4}}}\sin t\cos t\mathrm{d}t=\int_{\sin 0}^{{\small \sin \tfrac{25\pi}{4}}}t\mathrm{d}t=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}t\mathrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{4}$