Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante dix-sept plus dix-huit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

MikeB
27-11-2021 21:22:21

Merci Fred pour ta réponse.
J'ai bien le même théorème que celui de la page mentionnée.

Fred
27-11-2021 19:22:09

Bonjour,

  Comme tu pourras le lire sur cette page, le changement de variables, s'il est écrit comme tu l'as fait, ne nécessite pas que $\phi$ soit bijective
(en fait, cette formule, c'est plus ou moins la formule de la dérivée d'une fonction composée, qu'on applique à $F=f\circ\phi$).

F.

Zebulor
27-11-2021 19:09:25

re,
sur l'exemple d'application que tu donnes le changement de variable est non injectif sur l'intervalle d'intégration, donc non bijectif et le résultat est effectivement 1/4.
D'une manière générale je pense que la bijectivité du changement de variable n'est qu'une condition suffisante.
On doit pouvoir trouver d'autres exemples avec des fonctions trigonométriques notamment...
PS : Si dans toj exemple d'application tu déplaces les bornes d'intégrations de multiples de $2\pi$ tu retrouves encore le même résultat, ce qui peut être troublant..

MikeB
27-11-2021 16:48:07

Ok bijective et de classe C1 sont différents.
La question est le changement de variable nécessite-t-il un changement bijectif ?

Zebulor
27-11-2021 15:37:12

Bonjour MikeB,
Si j'ai bien compris ta question, dans le théorème que tu cites $\Phi$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle d'intégration, donc pas nécessairement bijective sur ce même intervalle.
"bijectif" n'est pas équivalent à "de classe $C^1$

MikeB
27-11-2021 14:32:46

Bonjour à tous,

Faut-il préciser que la fonction utilisée est bijective lors d'un changement de variable ?
Voir un exemple ci-dessous :


Théorème :  Soit $\Phi:[a,b]\rightarrow I$ une application de classe $C^1$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$.

Alors $\displaystyle \int_a^b f\circ\Phi(t)\times\Phi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}f(t)\mathrm{d}t$


Application : Calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{25\pi}{4}}\sin t\cos t\mathrm{d}t$

En utilisant $\Phi(t)=\sin t$ qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ alors $\Phi'(t)=\cos t$ et $f(t)=t$  on obtient :

$\displaystyle \int_{0}^{{\small \tfrac{25\pi}{4}}}\sin t\cos t\mathrm{d}t=\int_{\sin 0}^{{\small \sin \tfrac{25\pi}{4}}}t\mathrm{d}t=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}t\mathrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{4}$

Pied de page des forums