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bridgslam
19-09-2021 08:30:58

Pour résumer ( petite synthèse ) :

  - f est croissante ( et même strictement )
  - pour tout n f(n) vaut au moins n d’après 1.

  Par l’absurde, en supposant ,  [tex]\exists n f(n) \ge n+1 [/tex] que se passe-t-il en utilisant la croissance de f ?

Je te laisse logiquement conclure.

Alain

bridgslam
19-09-2021 08:14:35

Re-bonjour,

Pour la 2, on a [tex]f(n+1)\gt f(f(n))[/tex] donc, d’après 1. ,  on en déduit...

Alain

bridgslam
19-09-2021 07:59:48

Bonjour,

On vérifie que la propriété est vraie si p est nul.

Supposons qu’ elle soit vraie pour un entier p ( hypothèse de récurrence HR), il faut montrer .....

Si [tex]n\ge p+1[/tex] que peux-tu dire de [tex]n-1[/tex] ?
En utilisant HR, et que si un entier k vérifie [tex]k > s[/tex] alors [tex]k \ge s+1[/tex], tu obtiens que...

Alors tu peux conclure la première question.

Alain

Paco del Rey
18-09-2021 22:26:50

Je répète :
D'après la question 2. le minimum de la fonction $f$ serait $f(0)$.
Peux-tu le démontrer ?

Paco.

Xxx777xxX
18-09-2021 20:00:24

Bonsoir,
Suite à votre proposition, comment je peux savoir que ƒ(n) ≥ n ?

Paco del Rey
18-09-2021 19:39:53

Bonjour.

Tu peux t'intéresser à un $n\in\mathbb N$ tel que $f(n)$ soit minimum. La question 2. te donne un indice.

Paco.

Xxx777xxX
18-09-2021 18:42:11

Bonsoir,
Je bloque complètement sur un exercice de récurrence, je ne vois absolument pas comment je dois me lancer...

Exercice:

On veut déterminer toutes les fonctions ƒ définies sur ℕ à valeurs dans ℕ telles que :
                                     ∀n ∈ ℕ,  ƒ(ƒ(n)) < ƒ(n+1).

1. Montrer par récurrence que pour tout p entier naturel : ∀n ≥ p, ƒ(n)≥p.
2. En déduire que ƒ est strictement croissante puis déterminer ƒ.

Merci d'avance !

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