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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 29-11-2021 17:11:07
Bonjour,
Dans le cas général, si tu recherches l'adhérence de A à partir d'une base d'ouverts B , c'est :
[tex]adh(A) = ( \cup_{Y \in B\cap \mathcal{P}(A^c) } Y )^c[/tex], soit avec des mots, on prend le complémentaire dans X de la réunion de tous les Y de B inclus dans le complémentaire de A.
Par exemple pour la topologie des réels et A = ]-1, 1[, si on prend pour B l'ensemble des intervalles ouverts centrés sur un nombre rationnel,
( c'est une base d'ouverts) la réunion va donner [tex]]-\infty , -1[ \cup ]1 , +\infty[[/tex] , et son complémentaire va donner le segment le plus petit contenant A, [-1, 1].
Si je comprends bien la question... sans réponse à la mienne
A.
- bridgslam
- 29-11-2021 09:48:41
Bonjour,
C'est un autre fil normalement, et préciser la question svp.
Alain
- Belomi
- 29-11-2021 07:36:23
Bonjour svp comment trouver l'adhérence d'un ensemble en passant par une base d'ouverts.
A=]-1;1[
- bridgslam
- 13-09-2021 12:08:50
Bonjour,
Question subsidiaire, les propriétés de la topologie qui nous intéresse permettent de prouver qu'elle est métrisable ( si on ne s'intéresse qu' à l'existence d'une métrique) au travers du théorème d' Urysohn , le fait que la base soit dénombrable ( clair ) y jouant un rôle crucial:
Tout espace régulier à base d'ouverts dénombrable est métrisable.
Il est possible néanmoins d' y expliciter des distances, par exemple regarder le papier de Dirmeier en pdf sur la toile
par exemple, qui passe par une "presque"-norme
au sens où on n'a pas l' homogénéïté positive, encore moins d'espace vectoriel évidemment ( mais ce n' est pas gênant, pour définir la distance utile), et dont la distance induite fonde cette topologie sur les entiers.
Pas trivial tout ça quand-même, je retourne au galop vers des questions moins élaborées...
Cela aura peut-être eu le mérite d'intéresser des membres aimant la topo... et des espaces sortant de l'ordinaire.
Désolé pour les autres.
Alain
- bridgslam
- 10-09-2021 17:44:32
Bonjour,
Pour ceux qui se seront penchés sur la question... de la séparation de la topologie
Alain
- bridgslam
- 09-09-2021 18:07:23
Bonjour,
En rapport avec le sujet initial ( on suppose les raisons a non nulles ), il semble bien s'agir de la "topologie des entiers uniformément espacés":
Quelques propriétés si on veut se divertir un peu (notées + pour les faisable , disons sans chercher trop loin). En voici un exemplaire:
L'intersection de deux éléments de la famille en est encore un (+).
Les éléments de la famille sont à la fois ouverts et fermés ( pour la topologie engendrée ).
La famille est une base de sa topologie engendrée(+), strictement moins fine que la topologie discrète (voir juste après)
Tout ouvert non vide est infini (+).
Il est facile d'exhiber un ensemble infini non ouvert (++)..
Elle est métrisable ( il est assez simple (+) de montrer qu'elle est déjà séparée en raisonnant sur les entiers naturels ). Ce résultat est donc plus fort, si quelqu'un a une idée de métrique je suis preneur :-), peut-être en rapport avec la métrique p-adique?
Elle est totalement discontinue: les plus grands connexes sont les singletons ( donc triviaux). Comme l'ensemble de Cantor.
On peut se servir de cette topologie pour montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini (voir Fürstenberg).
Pour la partie de [tex]\mathbb{Z}[/tex] infinie non ouverte on peut par exemple considérer l'ensemble P des nombres premiers positifs.
P = {2, 3 , ... }
Si P était un ouvert alors, étant une réunion d'éléments de la base:
2 devant appartenir à un [tex]A_{a,b}[/tex] ( b choisi minimum positif ) inclus dans P , b vaut forcément 2 (sinon 1 serait un nombre premier, et si b = 0, quasi aucun multiple de a ne serait premier...), mais alors parmi les entiers 2 + na formant la suite arithmétique, il y en a des pairs > 2 ( avec n pair > 0 par exemple ) qui ne sont donc pas premiers. Contradiction puisque [tex]A_{a,b} \subset P[/tex]
Si vous avez d'autres résultats sur cette topologie, n'hésitez pas ...
Alain
- bridgslam
- 08-09-2021 09:26:30
Bonjour,
En général l'écueil à éviter: si un ensemble de parties A engendre une topologie T, tout élément (ouvert) non vide de T ne contient pas forcément un élément de A ( sauf si en plus A est une base évidemment).
Par-contre il contient nécessairement une intersection finie d'éléments de A.
Cette confusion occasionne de nombreux non-sens.
Ici, si on prouve pas d'abord que la famille considérée est une base de topologie, rien ne dit que tout ouvert non vide sera infini.
Alain
- bridgslam
- 07-09-2021 13:16:12
Bonjour,
On peut d'ailleurs rappeler le cadre de définition de ces notions dans un ensemble X.
[ topologie engendrée, prébase ]
Topologie T engendrée par une partie P de [tex]\mathscr{P}(X)[/tex]: c'est la plus petite topologie ( pour [tex]\subset[/tex] ) contenant cette partie P. Elle existe, et est unique.
C'est l'intersection de toutes les topologies contenant P.
On dit aussi que P est une prébase de T (ou sous-base ).
Une partie S de T en est une prébase ssi l'ensemble des intersections finies de S en est une base ( voir infra )
Plus concrètement, la topologie engendrée par P est l'ensemble des réunions d'intersections finies d'éléments de P.
[ bases d'une topologie T donnée ]
Une partie B de T est une base (d'ouverts) de T ssi tout élément de T est réunion d'éléments de B
[ bases de topologie ]
Une partie C de [tex]\mathscr{P}(X)[/tex] est une base d'ouverts, ssi il existe une topologie T pour laquelle C est une base.
Cela revient à dire que la réunion de tous les éléments de C est X et que l'intersection de deux élément de C est une réunion d'éléments de C, les éléments de C suffisent donc par réunion à générer la topologie engendrée sans avoir besoin des intersections finies.
Perso j'ai toujours vaguement tendance à mélanger tout ça, un petit mémo est donc utile à mon avis.
Alain
- bridgslam
- 07-09-2021 10:36:07
Bonjour,
Je pense que dans la définition a doit être dans [tex]\mathbb{Z}^*[/tex]... sans doute une coquille d'énoncé, comme souvent, sinon sans être faux, ce n'est pas un cas très intéressant: la famille étudiée est alors une base de la topologie discrète, qui est sa topologie engendrée,
vue que la famille contient déjà tous les singletons.
Sinon, il faut montrer ( cas où a est non nul, cas intéressant ), CNS pour qu'il existe une topologie dont B soit une base:
- Que [tex]\mathbb{Z}[/tex] est réunion de tous les [tex]E_{a,b}[/tex] ce qui est clair car déjà [tex]\mathbb{Z} = E_{1,0}[/tex]
- Que l'intersection de deux éléments de cette famille est aussi réunion d'éléments de cette famille.
Tu dois t'en sortir avec l'arithmétique dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] ( style théorème chinois ou variante).
On peut aussi voir si x appartient à deux suites arithmétiques de raisons a et a', il appartient à la suite arithmétique passant par x et de
raison ppcm(a,a'), qui est bien incluse dans les deux suites précédentes. Cela suffit pour la propriété d'intersection.
Alain
- poipoi34
- 07-09-2021 09:57:06
https://ibb.co/0jM4NMc
J'essaie de faire l'exercice 1.5 dans l'image du lien ci dessus et je pense qu'il y a une erreur. Avec la definition qu'ils donnent de la topologie, les singletons sont ouverts non? Puisque en posant a=0 on a que [tex] \{b\} [/tex] est ouvert, donc c'est la topologie discrète?