$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de mathématiques >

Formulaire : Décomposition en éléments simples


Rappel du théorème
Théorème : Soit $\displaystyle F=\frac PQ$ une fraction rationnelle de $\mathbb C(X)$ écrite sous forme irréductible, avec $P$ non nul et $Q$ non constant. Soit $Q=\prod_{k=1}^n (X-\alpha_k)^{\mu_k}$ la factorisation de $Q$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$. Alors il existe un unique polynôme $E\in\mathbb C(X)$ et une unique famille de nombres complexes $(\lambda_{k,j})_{1\leq k\leq n,1\leq j\leq \mu_k}$ tels que $$F=E+\sum_{k=1}^n\left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}\right).$$
  • $E$ s'appelle la partie entière de la fraction rationnelle. Elle est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$.
  • $\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}$ s'appelle la partie polaire de $F$ relativement au pôle $\alpha$.
Calcul de la partie polaire relative à un pôle simple
  Si $\alpha$ est un pôle simple de $F=P/Q$, alors $F$ s'écrit $$F=\frac{\lambda}{X-\alpha}+G$$ avec $G$ une fraction rationnelle dont $\alpha$ n'est pas un pôle. Alors, pour obtenir $\lambda$, on peut
  • factoriser $Q$ en $Q(X)=(X-\lambda)Q_1(X)$. On obtient alors $$\lambda=\frac{P(\alpha)}{Q_1(\alpha)}.$$
  • utiliser la formule suivante : $$\lambda=\frac{P(\alpha)}{Q'(\alpha)}.$$
Calcul de la partie polaire relative à un pôle double
  Si $\alpha$ est un pôle double de $F=P/Q$, alors $F$ s'écrit $$F=\frac{\lambda_1}{X-\alpha}+\frac{\lambda_2}{(X-\alpha)^2}+G$$ avec $G$ une fraction rationnelle dont $\alpha$ n'est pas un pôle. Alors, on commence par obtenir $\lambda_2$ en factorisant $Q$ en $Q(X)=(X-\alpha)^2 Q_1(X)$. Multipliant la fraction rationnelle par $(X-\alpha)^2$, puis faisant $X=\alpha$, on obtient finalement $$\lambda_2=\frac{P(\alpha)}{Q_1(\alpha)}.$$ Pour obtenir $\lambda_1$, on considère alors la fraction rationnelle $$F_1=F-\frac{\lambda_2}{(X-\alpha)^2},$$ dont $\alpha$ est un pôle de multiplicité au plus égal à 1. On applique alors à $F_1$ la méthode décrite plus haut.
Calcul de la partie polaire relative à un pôle de multiplicité supérieure ou égale à 3
  La méthode décrite pour calculer la partie polaire relative à un pôle double se généralise facilement à un pôle de multiplicité quelconque. Précisément, si $\alpha$ est un pôle de multiplicité $m$, on peut écrire $$F=\frac{\lambda_1}{X-\alpha}+\dots+\frac{\lambda_m}{(X-\alpha)^m}+G$$ avec $G$ une fraction rationnelle dont $\alpha$ n'est pas un pôle. On commence par déterminer $\lambda_m$ en factorisant $Q$ en $Q(X)=(X-\alpha)^m Q_1(X)$ et en remarquant que $$\lambda_m=\frac{P(\alpha)}{Q_1(\alpha)}.$$ On considère ensuite la fraction rationnelle $$F_1=F-\frac{\lambda_m}{(X-\alpha)^m},$$ dont $\alpha$ est un pôle de multiplicité au plus égal à $m-1$, puis on répète l'opération.