Manu918
si qqun peut m'aider ce serait sympa :
Montrer que la racine carrée est lipschitzienne sur tout intervalle de la forme[a;+infini[ où a>0, mais qu'elle n'est aps lipschyzienne sur tout IR+
michael
J'écrirai r(x) pour la racine de x.
On doit chercher si il existe k>0 tq pour tous x,y dans [a,+oo[ on ait : |r(x)-r(y)|=<k|x-y|.
Alors : |r(x)-r(y)|=|x-y|/(r(x)+r(y))=<|x-y|/2r(a) on a mulitplié en haut et en bas par le conjugué et majoré. Donc sur l'intervalle considéré, la fonction est lipchitzienne de constante k=1/2r(a).
Sur l'intervalle [0,+oo[ on a, pour tout x>0 : |r(x)-r(0)|=r(x) et on ne peut pas majorer r(x) puisque x est quelconque, donc k n'existe pas.
Par l'absurde : si k>0 fini existait on aurait r(x)=<kx et donc k>=1/r(x); or 1/r(x) n'est pas bornée sur lR+ donc on ne peut pas fixer k>0.
Manu918
merci beaucoup Michaël pour cette demonstration que j'aurai pas trouver si facilement; j'ai d'autres questions egalement (mais vous n'êtes pas ds l'obligation de toutes les faire bien sur) :
1. soit f une fonction k-lipschitzienne et g une fonction m-lipshitzienne; montrer que f rond g est km-lipschitzienne;
2.soit a,b et c 3 reels tq a<b<c et f une fonction definie sur [a;c]. Montrer que si f est k-lipschitzienne sur [a,b] et [b,c] alors f est k-lipschitzienne sur [a,c];
3.Montrer que le resultat precedent n'est plus vrai si l'on suppose seuelemnt que f est k-lipschitzienne sur [a,b] et ]b,c].
4.donner un exemple de fonction lipshitzienne et bijective dt la reciproque n'est pas lipschitzienne.
5.Soit f:[0;+oo[ -->IR une fonction lipschitzienne; Montrer que x-->f(x)/x est bornée sur [1;+oo[. en deduire que les fonctions x-->x² et x-->exp(x) ne sont pas lipschitziennes sur [0;+oo[.
6. Montrer que le produit de 2 fonctions lipschitziennes n'est pas nécessairement lipschitzienne ( on donnera un contre exemple)
7.Montrer que si f et g sont 2 fonctions lipschitziennes et BORNEES sur un intervalle I, le produit fg est lipshitzien sur I.
michael
1.|f(g(x))-f(g(y))|=<k|g(x)-g(y)|=<k(m|x-y|)=km|x-y|
2. me semble évident
3. Pour x et y dans [a,b] ou ]b,c] pas de problème. Pour x dans ]b,c] et y dans [a,b] on a |f(x)-f(y)|=|f(x)-f(b)+f(b)-f(y)|=<|f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|=<k|y-b|+|f(x)-f(b)| et on ne sait pas majorer cette dernière expression puisque f est lipschitzienne sur ]b,c].
4. à chercher
5. Montrer (en utilisant la définition sûrement) que f lip sur [0,+oo[ implique f(x)/x bornée sur [1,+oo[. Les fonctions proposées ne sont donc pas lipschitziennes puisque x et exp(x)/x sont non bornées sur [1,+oo[ (c'est le raisonnement par contraposée).
6. à chercher
7. On suppose que f est bornée par M et g par N et k et p lipschitziennes respectivement, alors :
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)|=|f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))|=<|f(x)||g(x)-g(y)|+|g(y)||f(x)-f(y)|=<Mk|x-y|+Np|x-y|=(Mk+Np)|x-y| donc fg est lipschitzienne de constante Mk+Np.
Voilà, je n'ai plus le temps, je dois partir, mais j'ai déjà été gentil.
michael
Désolé pour ces machins jaunes, ils viennent sans mon consentement.
Manu918
encore merci mickael
Manu918
si y'en a d'autre qui veulent aussi m'aider sur ces questions et donner leur demonstrations alors n'hesiter pas!
YALDA
BONSOIR, moi j'aimerais bien que quelqu'un m'explique c'est quoi une fonction lipschitzienne.
Et aussi m'expliquer c'est quoi une constante de Lipschitz. voila merci