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Polstulat de Bertrand

cleopatre

Bonjour les matheux,
Je voudrais vous demandez si vous êtes d'accord d'essayer de me faire comprendre la démonstration du théorème de Tchebytchev ou postulat de Bertrand. Si vous ne le connaissez pas, c'est le théorème qui dit qu'il existe pour tout n > 1 un p premier tel que n<p<=2n.
Voilà, je vous pose la question si quelqu'un est d'accord je poserai petit à petit mes questions...
Merci à vous pour tout bisous à bientôt.

yoshi

Bonsoir,

A la relecture, et après réflexion, pourquoi pas ?
Pose toujours tes uestions, si je ne peux pas, quelqu'un d'autre répondra bien à ma place . Et puis, à coeur vaillant rien d'impossible !

Mais là, je vais déconnecter...

A plus tard

cleopatre

En mathématiques, le postulat de Bertrand énonce que pour chaque n ≥ 2 il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n. Il fut démontré en premier par Pafnouti Tchebytchev ; ici nous présentons une démonstration élémentaire par l'absurde due pour l'essentiel à Paul Erdős. Quoique élémentaire, cette démonstration reste assez complexe.

Nous noterons l'ensemble des nombres premiers

et définissons :

Voici le plan de la démonstration:

* Majoration de 0(x)
* Vérification de la propriété pour n < 2048
* Vérification de la propriété pour n > 2048
* Conclusion

cleopatre

Voici la première étape de la démonstration générale : Majoration de 0(x):

J'ai compris le début de la démonstration jusqu'au cas impair.
En effet, la ligne avec 4^m je ne la comprends pas et qu'est ce que veut dire induction ?

Fred

Bonjour,

Par induction signifie par récurrence.

Pour la ligne avec 4^m, la première égalité est facile, la deuxième est la formule du binome de Newton.
Ensuite, on pourrait écrire :
[tex]4^m\geq \frac{\left(\begin{array}{c}2m+1\m+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2m+1\m\end{array}\right)}{2}\geq \left(\begin{array}{c}2m+1\m\end{array}\right)[/tex]
car d'une part la somme complète est supérieure ou égale à la somme où on a pris seulement deux éléments, d'autre part
les coefficients binomiaux [tex]\left(\begin{array}{c}2m+1\m+1\end{array}\right)[/tex] et [tex]\left(\begin{array}{c}2m+1\m\end{array}\right)[/tex]
sont égaux.

Frédéric.

cleopatre

Merci avant tout pour votre réponse.
Tout d'abord, il est vrai que la première égalité est évidente.
Ensuite, grâce à cette explication j'ai compris la ligne 4^m.
Cependant, j'ai vérifié par quelques exemples l'affirmation "chaque nombre premier... ce qui nous donne". Avez-vous un lien qui le démontre ?
Et pourquoi 0(2m+1)-0(m+1)<=ln(C(2m+1,m) ?
Pour la première partie de la démonstration ce sont mes dernières questions.
J'ai un simple niveau de Terminale mais je compte bien le comprendre avec l'aide de tous les matheux de Bibmath.

Fred

Pour la première partie de ta question :

C(2m+1,m)=(2m+1)!/(m!(m+1)!) Si p est un nombre premier compris entre m+2 et 2m+1 (au sens large), il divise (2m+1)!
D'autre part, il n'apparait pas dans la décomposition en facteurs premiers du dénominateur m!(m+1)! qui ne fait apparaitre que des nombres premiers inférieurs ou égaux à m+1. D'où le résultat.

Ensuite, O(2m+1)-O(m)=ln(p_1...p_r), où les p_i sont tous les nombres premiers compris entre m+2 et (2m+1) (propriété du ln pour passer de la somme des ln au ln du produit). On vient de montrer que chaque p_i divise C(2m+1,m) donc leur produit aussi (théorème de Gauss). D'où p_1...p_r divise C(2m+1,m), en particulier il est inférieur à ce nombre.

cleopatre

Merci beaucoup, vous expliquez vraiment bien et elle n'est pas si compliqué que cela( avec de bonnes explications... 😉

Partie 2 :

Pour cette partie, il n'y a pas de difficulté

Partie 3 : cas où n>204

1) Pourquoi avons nous 4^n/(2n+1) <= C(2n, n)?

2) Alors cette est pour moi et pour l'instant incomprehensible....

3) Cette expression... je ne la comprends pas tout simplement.

Je vais arrêté là car je comprends vraiment plus, peut-être que les futurs explications m'ouvriront les yeux et la cervelle surtout..

Fred

J'essaie encore de répondre...

1) C'est pas très difficile, la somme fait 4^n, elle comporte 2n+1 termes, et le plus grand est C(2n,n), donc elle est aussi inférieure ou égale à (2n+1)C(2n,n)

2)C'est une définition.... R(p,n) est l'exposant de p dans la division en facteurs premiers de C(2n,n).

3)Que ne comprends-tu pas? Le crochet signifie "partie entière".
Ensuite, C(2n,n)=(2n)!/(n!)^2. L'exposant de p qui apparait dans la décomposition en facteurs premiers de C(2n,n)
sera l'exposant de p qui apparait dans la décomposition de (2n)! moins deux fois l'exposant de p qui apparait dans la décomposition de (n!)^2.

Fred.

cleopatre

Oui j'ai presque tout compris.

En effet, parce que la première phrase de l'image du dernier message signifie que par exemple que 15 possède [15/2]+[15/3]+[15/5]+[15/7]+[15/9]=8+5+3+2+0=18 facteurs de p? Si oui, ne répondez pas à cette phrase.

Partie 3 suite :

Pourquoi tous les termes j> [ln(2)/ln(p)] sont nuls?

Fred

Parce qu'alors p^j>2n et donc 2n/p^j<1 et donc sa partie entière est nulle. A fortiori, n/p^j<1...

cleopatre

Oui merci mais par contre je comprends pas pourquoi [n/p^j] doît être égale à 1 ou 0 car on a bien [15/3] = 5, non?
Le mieux serait de me montrer un exemple de calcul de la somme [n/p^j] car le problème de mon incomprehension vient du fait que j'ai du mal à me représenter cette somme.
Sinon la dernière ligne, je l'ai bien comprise car on obtiens pour p > racinne(2n) --> 2 > ln(2n)/ln(p) d'où le résultat mais pourquoi où R(p,n)=[2n/p^j]-2*[n/p^j]

Bon sinon continuons la démonstration....

La première et seconde, je les comprends...
Ensuite, je ne connais pas le terme développement trivial de l'assertion originale
En quoi [2n/p]-2[n/p] = 2-2 ? J'ai l'impression que je comprends plus rien, lol !
IL me faudrait vraiment cette exemple concret de calcul pour comprendre la démonstration.
Merci pour tout je le dirais jamais assez...

Fred

Je n'ai pas le temps de tout regarder, mais je pense que l'idée est la suivante : pour n et x deux entiers,
[n/x] est tel que [n/x]<=n/x<[n/x]+1
[2n/x] est tel que [2n/x]<=2n/x<[2n/x]+1
Si on multiplie par deux la première inégalité, on a 2[n/x]<=2n/x<2[n/x]+2
ce qui prouve en fait que 2[n/x]=[2n/x] ou 2[n/x]=[2n/x]+1.
(c'est fort possible que je me trompe...)
Pour le "développement trivial de machin truc", on fait simplement un raisonnement par l'absurde qui consiste à prendre pour hypothèse qu'il n'y a aucun nb premier compris entre n et 2n. A fortiori, C(2n,n) n'a pas de facteurs premiers compris entre n et 2n.
Cette expression "développement..." est très mal choisie!
Bon courage pour la suite.

cleopatre

Non c bon, je sais pas si vous aviez juste (il me semble que sa aurait fais -1 et 0 dans votre cas mais sinon j'ai compris :
En effet, car si n/p^j < ½ alors [2n/p^j] – 2 * [n/p^j] = 0 - 0
Alors que si n/p^j >= ½ alors [2n/p^j] – 2 * [n/p^j] = 1 – 2 *0 = 1
Il faut tout simplement faire les calculs...

En plus j'ai compris pourquoi [2n/p]-2[n/p] = 2-2 = 0 car 3n/2<p<=n

Voici la dernière ligne droite avant la fin de cette explication :

Vous avez plus qu'à m'expliquer ce paragraphe petit à petit parcequ'il faut que je le comprenne bien

et à me répondre à une dernière question dans cette image :

Comment passe t-on de 0(2m+1)-0(m+1)<= ...
à par induction 0(m+1) < ... ????

Merci encore

cleopatre

Vous ne pouvez plus m'aidez ?