Bonsoir,
Pfffioouu... Ca, c'est pas de la tarte, je me demande qui, parmi tes petits camarades de 3e (car tu es bien en 3e, n'est-ce pas ? Ôte-moi d'un doute !) aura réussi à faire ça tout seul...
Bien, passons aux choses sérieuses
Que veut dire la question ? Simplement que tu dois prouver que si 10c + d -2u est multiple de 7, alors le nombre cdu est un multiple 7 et ne l'est pas dans le cas contraire. Tu as d'abord vérifié que c'était vrai sur quelques exemple, maintenant, tu dois prouver que c'est
toujours vrai.
1. Tu dois comprendre que tout nombre qui s'écrit 7n, avec n entier naturel, est multiple de 7... ok ? Ca, c'est facile...
2. x étant un entier naturel quelconque, pour que la somme 7n + x soit un multiple de 7, il faut que x soit aussi un multiple de 7. Si x est un multiple de 7, il existe un entier naturel m tel que x = 7m, et la somme s'écrit :
7m + 7 n = 7(m+n) qui est bien un multiple de 7. C'est ça que je vais utiliser.
Je vais tenter de montrer que cdu est un nombre qui se décompose comme la somme d'un multiple 7 et d'un autre nombre, multiple de 10c+d-2u
3. a) Je fais apparaître 10c+d-2u dans cdu.
c est le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités : cdu = 100c + 10 d + u.
374 = 100*3 + 10*7 + 4. D'accord ?
Je remarque que si j'écris cdu = 100c+10d + u = 10(10c+d)+u, alors 10c + d est le début de 10c+d-2u !
Pour pouvoir mettre -2u dans la parenthèse (c'est à dire avoir là aussi 10 comme facteur commun), il me faudrait -20u à la place de +u, donc :
on remplace u par 21u-20u...
cdu = 100c+10d + u = 100c+10u-20u+21u = 10(10c+d-2u)+21u
b) On conclut
cdu se décompose comme une somme de 2 nombres :
* 21u qui est toujours un multiple de 7
* 10(10c+d-2u)
Ainsi que je l'ai dit au début,, pour que cdu soit un multiple de 7, puisque 21u est toujours multiple de 7, alors il faut que le 2e terme de la somme, c'est à dire 10(10c+d-2u) soit aussi un multiple de 7.
Comme 10 n'est pas multiple de 7, il faut que 10c+d-2u soit un multiple de 7
Lorsque c'est le cas, donc, cdu qui s'écrit en une somme de 2 multiples de 7, est lui-même un multiple de 7.
Voilà... As-tu compris ? Sinon, questionne jusqu'à être capable de refaire toute seule...
J'ai été obligé de faire le travail, moi, parce que je ne voyais pas bien comment j'aurais pu te guider jusqu'à la solution en moins de 3 à 4 jours...
Bien sûr, si je t'avais eu en face de moi, c'était faisable : il aurait fallu une bonne heure quand même..
@
PS
freddy,
le prof wrote:démontrer ce critère de divisibilité par 7 pour un nombre cdu de trois chiffres
C'est pourquoi, je ne vois pas de solution que de procéder d'une manière analogue à la démonstration de la divisibilité par 3 et 9, voire 11...
As-tu une autre idée (plus simple) ?