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Suite bornée..

isomorphisme

Bonjour! Je suis en train de faire un exercice de maths spé, j’ai un peu du mal à le terminer.

Alors voila : il faut montrer que Un= ∑(exp(iθ))[sup]k[/sup]
pour k allant de 0 à n , est bornée .

Voici mon idée. Par le theoreme de pythagore je peux dire que ∑(cos(kθ)) <= Un <= ∑(sin(kθ))
(J’encadre par la partie réelle et la partie imaginaire.
J’obtiens en suite, sous réserve que θ=! 0

L’encadrement suivant

https://zupimages.net/up/22/40/b0lp.jpeg

Or ma question est la suivante: est ce suffisant pour montrer que Un est bornée ?

merci pour votre aide ! 😃

[supprimé]

Je suis extrêmement dubitatif pour une inégalité qui fait intervenir des nombres complexes...
L'inégalité entre la borne supérieure et inférieure est par ailleurs fausse pour $n=0$.

Essaye plutôt de calculer directement la somme qui t'intéresse (pense à la somme des termes d'une suite géométrique).

isomorphisme

Bonjour! merci pour votre réponse
J’ai déjà fait ce calcul oui, mais je ne vois pas comment m’en sortir comme ça

https://zupimages.net/up/22/40/yt1y.jpeg

[supprimé]

Très bien, maintenant qu'est ce que ça veut dire qu'une suite $(u_n)_n$ $\textbf{complexe}$ est bornée ? Qu'est ce qu'on veut montrer ?

isomorphisme

Je dois montrer que la partie imaginaire de la suite et la partie réelle de la suite sont bornées

[supprimé]

Exactement, c'est une manière possible de faire. À partir de l'expression de $u_n$ que tu as obtenue, est ce que tu peux trouver des expressions (relativement simples) pour la partie réelle et imaginaire de $u_n$ ?