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Calcul des valeurs exactes de sin(pi/8) et cos(pi/8) [Résolu]

lili11

bonjour , je suis désoler de vous redemander un même sujet mais il est fermé et je ne comprends pas
si vous voulez le voir c'est http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1042

Mon sujet est le même mais je le remets :
1) Préliminaires !
ABC est un triagle isocèle en A ; tel que AB=AC=a et l'angle BAC = alpha
Démontrerque BC = 2a sin (alpha /2)

Soit ( O; vecteur OI ; vecteur OJ ) un repère orthornomé du plan

M et le point de coordonnée polaires (1; Pi/4) dans le repère (O;vecteur OI )
2 ) Calculer la distance IM

3 ) En déduire la valeur exacte de sin Pi/8

4) ..... puis celle de co Pi/8

Voila merci deme repondre et si c'est possible expliquez lentement faut que sa rentre ^^, bonne journée!

yoshi

Bonjour,

Et Bienvenue sur BibM@th
Un préliminaire, c'est le début de quelque chose, quelque chose dans quoi on va réutiliser ce préliminaire !
Mais la discussion a été décousue, donc je reprends ma plume, enfin mon clavier et je repars à zéro.

Préliminaire.
Dans ton triangle isocèle de base [BC], tu traces la hauteur [AH].
Théorème de 4e : dans un triangle isocèle, la hauteir issue du sommet principal est aussi bissectrice de l'angle au sommet, médaiane et médiatrice de la base.
Par conséquent, H est le milieu de [BC] et [tex]\hat{HAB}=\hat{HAC}={\alpha \over 2}[/tex]...
OK ? tu suis ?
Un petit coup de trigonométrie dans le triangle HAB (par exemple) rectangle en H (on a tracé la hauteur) :
[tex]sin(\hat{HAB})=\frac{HB}{AB}[/tex]

Donc [tex]sin\left({\alpha \over 2}\right)={HB \over a}[/tex]
Mais H étant le milieu de [BC], on a donc HB = BC/2, alors on peut écrire :
[tex]sin (\frac{\alpha}{2})=\frac{\frac{BC}{2}}{a}=\frac{BC}{2a}[/tex]

Ey enfin, en multipliant les 2 membres par 2a, on obtient :
[tex]BC=2a\,sin({\alpha \over 2})[/tex]

Problème.
On ne va pas utiliser les formules trigonométriques cette fois.
Puisque les coordonnées polaires de M sont [tex]M\left(1,{\pi \over 4}\right)[/tex] cela signifie que la longueur OM mesure 1 et que [tex]\hat{IOM}={+}{\pi \over 4}[/tex]
Dire que les coordonnées polaires se M sont [tex]M\left(1,{\pi \over 4}\right)[/tex], c'est aussi dire que ses coordonnées cartésiennes sont :
[tex]x=1\times cos({\pi \over 4})={sqrt 2 \over 2}\;et\;y=1\times sin({\pi \over 4})={sqrt 2 \over 2}[/tex]
Et on a OM = OI = 1. IOM est un triangle isocèle de sommet principal O. Nous retrouvons le préliminaire.
Reste à connaître la longueur IM.
Il suffit d'appliquer la formule de 3e :
[tex]IM = \sqrt{(x_M-x_I)^2+(y_M-y_I)^2}[/tex]
On a donc
[tex]IM^2=\sqrt{(\frac{\sqrt 2}{2}-1)^2+(\frac{\sqrt 2}{2}-0)^2}=\sqrt{({1 \over 2}-\sqrt 2 +1)+{1 \over 2}}=\sqrt{2-\sqrt 2}[/tex]
Maintenant, on va utiliser le fait que IOM est un triangle isocèle de sommet principal O avec IO =OM = 1 et [tex]\hat{IOM}={\pi \over 4}[/tex]

On peut donc écrire [tex]IM =\sqrt{2-\sqrt 2}=2\times 1\times sin({\pi \over 8})[/tex]
Maintenant, tu peux répondre à ta question...
Connaissant le sin de cet angle, on peut trouver le cos du même angle avec la relation de 3e : [tex]sin^2({\pi \over 8})+cos^2 ({\pi \over 8}=1[/tex]

Voilà ! Autre chose ?

@+

lili11

merci infiniment j'ai tout compris!!
Merci beaucoup, @+