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démonstration polynôme cyclotomique irréductible sur Z

agrega_sarrachles_tif

Bonjour,

j'essaie de comprendre la démonstration de l'irréductibilité de $ \Phi_n$ du perrin:
https://drive.google.com/file/d/15PTYNXCRPQOz4ov40r6P__JvmzWg4h5N/view?usp=sharing

Je comprends la démo mais je me demande pourquoi dans la partie 2), on prend f et g des polynome minimaux de $\xi$ et $\xi^p$ dans $\mathbb{Q}$ et on montre qu'ils sont unitaire, à coeff dans $\mathbb{Z}$, donc irréductible sur $\mathbb{Z}$.
Pourquoi ne pas directement prendre les polynomes minimaux dans $\mathbb{Z}$? il y a forcément une raison mais je ne vois pas.

Fred

Bonjour,

On ne peut pas accéder à ton lien (une autorisation est nécessaire semble-t-il...)

F.

agrega_sarrachles_tif

ah oui merci effectivement, il fallait une autorisation, maintenant c'est public

Fred

Re-

Ne serait-pas simplement parce que $\mathbb Z[X]$ n'est pas un anneau principal, et donc que la notion de polynôme minimal n'a pas de sens dans $\mathbb Z[X]$.

F.

agrega_sarrachles_tif

C'est vrai qu'on definit le polynome minimale de a comme l'unique polynome irréductible unitaire qui annule a ... Ce que n'est pas possible dans Z[X] forcément, car il ne sera pas forcément unitaire. Peut être que j'abuse un peu avec mes questions, mais pourquoi il n'existe pas une notion de polynome minimale sur Z, en le prenant pas forcément unitaire?

Fred

Comme l'anneau n'est pas principal comment definirais tu un polynôme minimal?

agrega_sarrachles_tif

Je définirai le polynome minimal f de a ( a étant un élément de la cloture algebrique de Q) comme un polynome à coefficient dans Z, primitif, irréductible, qui annule a. Il est unique, et tout polynome qui s'annule en a est multiple de f, par factorialité de Z[X].