Bonjour,
si un triangle possède deux d'angles de la même mesure, alors il est isocèle.
On part d'une définition :
On dit qu'un triangle qui a deux côtés de même longueur est un triangle isocèle.
Est
qualifié d'isocèle...
Pourquoi isocèle ?
Isocèle, du grec
- iso : égal
- skelos : jambes...
Tu veux, partant de deux angles égaux dans un triangle, montrer que les deux côtés auxquels ils sont adjacents sont égaux ?
C'est bien ça ?
Si oui, je te propose une démo n'utilisant que le programme de 6e/5e mais qui n'est pas faisable telle quelle par un élève de 5e : il aurait besoin d'être guidé par des étapes intermédiaires... et un peu plus rompu aux démos (ce qui n'est pas vraiment le cas).
Un "bon élève" de 4e, après 2 trimestres de géométrie, guidé peut-être...
Un bon élève de 3e, guidé, c'est probable à 75 % maxi...
Prérequis :
- connaître la définition du triangle isocèle
- connaître la propriété : si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux. (c'est la réciproque qu'on cherche à montrer.)
- connaitre les propriétés du rectangle (6e)
- avoir fait la leçon sur le parallélogramme (5e)
- avoir fait la leçon : Parallélisme et angles (alterne-internes, alterne-externes, correspondants) (5e).
On considère un triangle ABC tel que $\widehat{CBA}=\widehat{BCA}$
Je trace la perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe [BC] en H.
Je trace la perpendiculaire en C à (BC) et la perpendiculaire en A à (AH) : elles se coupent en K.
Par construction, le quadrilatère AHCK a 3 angles droits :
$\widehat{AHC}$ , $\widehat{HAK}$ et $\widehat{HCK}$
Si un quadrilatère a 3angles droits alors c'est un rectangle.
Donc AHCK est un rectangle.
Je trace la diagonale [HK]
Un rectangle a ses diagonales de même longueur et elles ont le même milieu. Soit I ce milieu.
On a donc IH = IC.
Le triangle IHC qui a 2 côtés de même longueur est un triangle isocèle et donc ses angles à la base sont égaux :
$\widehat{CHI}=\widehat{ICH}$
Le point I milieu des diagonales [AC] et [KH] est donc sur [AC] et [HK].
H est sur [BC] par construction
Je peux donc récrire l'égalité ainsi $\widehat{CHK}=\widehat{ACB}$
Or l'énoncé me donne : $\widehat{CBA}=\widehat{BCA}$
J'en déduis que $\widehat{CHK}=\widehat{CBA}$
Ces deux angles étant en position d'angles correspondants
et égaux, on conclut que (BA)//(HK)
On a construit (AH) perpendiculaire à (BC) et (AK) perpendiculaire à (AH) on a donc (AK) // (BC)
Le quadrilatère AKHB, dont les 4 côtés sont parallèles deux çà deux est donc un parallélogramme.
Or, dans un parallélogramme les côtés opposés sont de même longueur et ici en particulier : HK = BA
Mais HK = AC puisque [HK] et [AC] sont les deux diagonales du rectangle AHCK.
Donc BA =AC...
Le triangle BAC est donc isocèle de base [BC]
Je vais essayer de trouver plus "élémentaire"...
@+
[EDIT]
@b-m
Moi, ça remonte à l'année 2006-2007 dernière année avant ma retraite.
Je n'ai jamais vu cette démo...
Qu'est-ce que tu appelles pliage symétrie par rapport à H ?
Symétrie centrale de centre H?
Si oui, pas d'accord ! A ne donne pas A.
Symétrie orthogonale d'axe (AH) ?
Pas d'accord non plus : tu ne peux pas dire B --> C.
C'est présupposer que H, en plus d'être le milieu de [BC] est le pied de la hauteur abaissée de A sur [BC] ce qui n'est vrai que dans un triangle... isocèle