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Comment déterminer l'équation d'une courbe à partir de ses points ?

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Bonjour, j'aurais besoin d'aide car malgré mes modestes connaissances des mathématiques, je ne parviens pas à un résultat satisfaisant.

Voici mon problème:
Je possède des graphiques avec des courbes, au format papier/pdf, et j'essaye de les reproduire dans un projet informatique personnel.
Je pourrais reproduire ces courbes en enregistrant chaque point manuellement, mais cela serait vraiment long et fastidieux étant donné le grand nombre de points et de graphiques.

J'ai donc essayé de déterminer l'équation de chaque courbe, pour me faciliter le travail.
Au vu du dessin des courbes, j'ai estimé que c'étaient des fonctions exponentielles, et j'ai pu trouver cette formule qui semblait correspondre:
y = a . (1 - exp(-b . x))

J'ai pu faire une estimation assez proche de a, et donc déterminer b, et j'avais donc mon équation. Mais quand je compare le résultat obtenu informatiquement, la courbe est légèrement différente.

Peut-être est-ce dû à une mauvaise estimation de a ? Au mauvais choix de l'équation ? Je ne sais pas.

Pourriez-vous m'aider à trouver la bonne méthode pour déterminer l'équation de mes fonctions ?

Un énorme merci d'avance !!

Je vous partage un exemple d'un de mes graphique, qui s'étend sur 6 pages.

graph-1

BenPix

Désolé, soucis avec mes images, j'essaye de les mettre ici du coup...

graph-1

Fred

Bonjour,

Il y a un double problème dans ce que tu décris (qui est une problématique classique des sciences) :

* un problème de modélisation : savoir à quel type de courbe ces points sont censés appartenir. Pour cela, les maths ne peuvent pas grand chose pour toi... C'est souvent en fonction des données physiques ou biologiques du problème et de la modélisation qui est faite que l'on sait à quel type de courbe c'est censé appartenir.

* l'estimation des paramètres lorsqu'on sait quel type de courbe on veut obtenir. Là, il y a plusieurs méthodes possibles. Par exemple, la méthode des moindres carrés (mais je ne suis pas sûr qu'elle peut s'appliquer ici). Mais là, il faut vraiment rentrer dans les détails pour obtenir quelque chose....

F.

freddy

Salut,

je rejoins Fred.
J'ajouterai qu'il doit y avoir sur la toile des logiciels gratuits d'ajustement de courbe par une fonction, en particulier sous R (ce qui nécessite que tu apprennes ce langage). Le logiciel propose d'ailleurs le meilleur ajustement entre plusieurs choix possibles.
En termes de méthodes, le principe est de déterminer simultanément les paramètres a et b, pas séparément, source d'erreurs, comme tu l'as constaté.

BenPix

Merci pour votre retour.

Suite à ça, je pense être dans le bon pour le choix du type de courbe. En effet, ce sont des graphiques de perte de poids (le poids perdu en ordonnée et le temps qui passe en abscisse) par rapport à une baisse calorique constante. En toute logique, le poids va se stabiliser. Il y a donc une limite qui ne sera jamais dépassée, donc c'est bien une exponentielle.

Je prend note de vos conseils en tout cas, je vais persévérer. Et si je trouve quelques chose, je viendrai vous faire part de mes découvertes !
Merci beaucoup 🙂

jj-822

Bonjour,
Fred a très bien répondu à ta question.
Je n'ai pas grand chose à dire de plus en ce qui concerne le choix du type de fonction à ajuster. S'il n'y a aucune piste provenant de l'origine des données numériques il faut essayer successivement des fonctions de divers genres et sélectionner ce qui convient le mieux. D'après ce que tu as écrit il semble que le genre de fonction exponentielle soit un bon candidat. Donc ce premier point est probablement réglé.
Le second point est l'ajustement des paramètres qui figurent dans la fonction choisie. Ainsi que déjà dit, cela relève de méthodes bien connues de "régression" non-linéaire dans le cas présent pour la fonction
y = a . (1 - exp(-b . x))+c
Une constante ajustable supplémentaire (c) est indispensable car les courbes ne passent pas exactement par (x=0 , y=0).
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_non_lin%C3%A9aire
Les algorithmes couramment utilisés sont itératifs et pour démarrer nécessitent de donner des valeurs initiales aux paramètres (valeurs plus ou moins bien estimées). Ils ne sont pas fiables dans tous les cas lorsque que les valeurs initiales sont trop loin des valeurs exactes inconnues, ou lorsque que le processus itératif ne converge pas.
Une méthode non conventionnelle (non itérative et sans nécessité de valeurs initiales des paramètres) est décrite dans cet article : https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales . Le cas de l'ajustement de fonction exponentielle est traité pages 16-17.