freddy wrote:
Maximiser son profit revient à chercher les valeurs K et L qui résolvent le programme ci-dessus, avec $p, r, w$ figés.
Les conditions du premier ordre (annulation des deux dérivées partielles premières) donnent :
$p\times F'_K=r$
$p\times F'_L=w$
La concavité du programme fait que ces conditions sont aussi suffisantes.
En combinant ces deux équations, tu obtiens le résultat selon lequel, à l'optimum, le quotient des deux dérivées partielles en K et L est égal au quotient r/w, et ce point est unique. Géométriquement, c'est le point de tangence entre la courbe d'isoproduction et la droite d'isocoût.
Conclusion : si tu trouves deux points d'intersection, cela signifie que tu n'es pas à l'optimum, il faut que tu te déplaces à droite du graphique pour chercher un niveau de production plus élevé avec les mêmes quantité de travail et de capital.
Oui effectivement je connais la méthode analytique, c'est à dire le programme de minimisation sous contrainte de Lagrange pour trouver la réponse. D'ailleurs c'est vrai qu'en faisant ce programme, je trombe sur des conditions du premier ordre, telles que si je les combine entre elles, on voit qu'à l'optimum le coefficient directeur de la droite d'isocoût est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe. A l'optimum le rapport des productivité marginale est égale au rapport des prix
Le producteur cherche à minimiser ses coût, c'est à dire il cherche les valeurs de L et de K pour minimiser sa fonction coût d'expression CT( K, L) = L. Pl + K. Pk sous la contrainte
Q (K, L) = q <=> Q (K, L) – q = 0
Min CT (K, L) = Min (L. Pl + K. Pk)
La fonction de Lagrange correspondant à ce programme est
L (K, L, λ ) = L. Pl + K. Pk - λ. [Q (K, L) – q ]
Les conditions du premier ordre, qui correspondent à l'annulation des dérivées premières sont données par
1) ∂L(K, L, λ)/∂K = 0
2) ∂L(K, L, λ)/∂L = 0
3) ∂L(K, L, λ)/∂λ = 0
<=>
1) Pk - λ . ∂ Q (K, L) / ∂K = 0
2) Pl - λ . ∂ Q (K, L) / ∂L = 0
3) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk = λ . ∂ Q (K, L) / ∂K
2) Pl = λ . ∂ Q (K, L) / ∂L
3) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L) = λ
2) Pl. ∂L /∂ Q (K, L) = λ
3) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L) = Pl. ∂L /∂ Q (K, L)
2) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)]/[∂K /∂ Q (K, L)]
2) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)]/[∂K /∂ Q (K, L)]
2) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)].[∂ Q (K, L)/∂K]
2) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk/Pl = [∂ Q (K, L)/∂K]/[∂ Q (K, L)/∂L].
2) Q (K, L) – q = 0
<=>
1) Pk/Pl = PmK/Pml
2) Q (K, L) – q = 0
On peut donc effectivement déduire de ce programme de maximisation analytique les propriétés géométrique de l'optimum; mais c'est vrai que dans mon cours, et dans certains cours que j'ai trouvés sur internet, les choses n'étaient pas présentées comme ça.
C'était présenté comme deux méthodes bien distinctes; la méthode analytique et la méthode géométrique.
Dans la méthode géométrique ils déduisaient de la simple convexité de la courbe que l'optimum était le point de tangence, et non du programme de maximisation analytique (mais ils le prouvaient pas, d'où ma venue sur le forum pour tenter de comprendre plus en profondeur)
D'ailleurs à ce propos, pouvez-vous me dire quelle est, dans les conditions du premier ordre, la différence entre un programme de maximisation sous contrainte lagrangien et un programme de minimisation ? Parce que dans la théorie du consommateur je trouve plus pertinent de maximiser l'utilité sous la contrainte des coûts et je trouverais ça bizarre que les conditions soient exactement les mêmes c'est à dire annulation des dérivées partielles. Ou alors c'est le conditions du deuxième ordre qui jouent un rôle pour différencier un programme de maximisation et un programme de minimisation?