Dans les espaces métriques

Soit $X$, $Y$ deux espaces métriques et $f$ de $X$ dans $Y$ une application continue. On dit que $f$ est propre si l'image réciproque de tout compact par $f$ est un compact. Lorsque $X=Y=\mathbb R^n$, cela revient à dire que la norme de $f(x)$ tend vers l'infini quand la norme de $x$ tend vers l'infini.

Dans les espaces topologiques généraux

Si $X$ et $Y$ sont deux espaces topologiques, une application $f:X\to Y$ est dite propre si pour tout espace topologique $Z,$ l'application $f\times\textrm{Id}_Z:X\times Z\to X\times Z$ est fermée (c'est-à-dire que l'image de tout fermé est fermé.)

Lorsque $X$ est séparé et $Y$ est localement compact, on retrouve la définition donnée dans le cadre des espaces métriques :

Théorème : Soit $X$ un espace topologique séparé, $Y$ un espace topologique localement compact et $f:X\to Y$ une application continue. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est propre;
l'image réciproque par $f$ de tout compact est compacte;
$f$ est fermée et l'image réciproque par $f$ de tout singleton est compacte.