Théorème de prolongement d'une dérivée : Soit $I$ un intervalle, $a\in I,$ $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur $I\backslash \{a\}$. On suppose que $f'$ admet en $a$ une limite $\ell\in\overline{\mathbb R}$. Alors $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$$ En particulier, si $\ell\in\mathbb R$, $f$ est dérivable en $a$ et $f'$ est continue en $a$ avec $f'(a)=\ell.$
[demo] Soit $x\in I$, $x\neq a$. $f$ est continue sur $[a,x]$ et dérivable sur $]a,x[$, on peut donc appliquer le théorème des accroissements finis, et il existe $c_x\in ]a,x[$ tel que $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_x).$$ Maintenant, si $x\to a$, alors $c_x\to a$ et donc $f'(c_x)\to\ell.$ [/demo]
On peut formuler un autre théorème où on ne suppose même pas que $f$ est continue en $a$ : si $f:\ ]a,b]\to\mathbb R$ est dérivable sur $]a,b]$, si $f'$ admet une limite $\ell\in\mathbb R$ en $a$, alors $f$ se prolonge par continuité en $a$, ce prolongement est dérivable et $f'(a)=\ell.$ Mais la preuve est nécessairement plus difficile, car il faut d'abord prouver que $f$ admet une limite en $a$. Ceci se fait à l'aide d'un argument utilisant les suites de Cauchy.