Dans un espace de Hilbert, on peut définir le projeté orthogonal sur toute partie convexe non vide.

Théorème : Soit $C$ un convexe fermé (non vide) d'un espace de Hilbert $H$. Pour tout $x$ de $H$, il existe un unique $p(x)$ appartenant à $C$ tel que $$\|x-p(x)\|=\inf_{y\in C}\|x-y\|.$$ De plus, $p(x)$ est caractérisé par $$\forall z\in C,\ \langle z-p(x),x-p(x)\rangle\leq 0.$$ $p(x)$ s'appelle le projeté orthogonal de $x$ sur $C$. L'application $p:H\to C$ est $1$-lipschitzienne, donc continue.
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Remarques :

  • Le théorème est formulé pour un espace de Hilbert réel. Il reste vrai pour un espace de Hilbert complexe, à condition d'ajouter une partie réelle dans la caractérisation : $$\forall z\in C,\ \Re e(\langle z-p(x),x-p(x)\rangle)\leq 0.$$
  • Le théorème s'étend aux espaces préhilbertiens à condition de supposer que le convexe sur lequel on projette est complet.
  • Si on ne travaille plus avec un espace de Hilbert, mais avec un espace de Banach, on peut perdre l'existence ou l'unicité d'un projeté sur un convexe fermé. Par exemple, si $E=\mathbb R^2$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ et si $C=\bar B(0,1)$, alors $u=(2,0)$ est à distance $1$ de $C$, et pour tout $a\in [-1,1]$, $(1,a)\in C$ et $\|u-(1,a)\|_\infty=1$. Pour perdre l'existence, il faut se placer en dimension infinie. On peut considérer $E=\mathcal C([0,1])$ muni de $\|f\|=\|f\|_\infty+\|f\|_1$ et $C=\{f\in E:\ f(0)=1\}$. Alors, pour $g=1,$ la distance de $g$ à $F$ est égale à $1$, mais elle n'est pas atteinte.