Ex : Une urne contient initialement 7 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3 boules : si on tire une noire, on l'enlève, si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire à la place. Quelle est la probabilité de tirer 3 blanches à la suite?

On note $B_i$ l'événement "La i-ème boule tirée est blanche". La probabilité recherchée est : $$P(B_1\cap B_2\cap B_3)=P(B_3|B_1\cap B_2)P(B_2|B_1)P(B_1).$$ Clairement, $P(B_1)=3/10$. Maintenant, si $B_1$ est réalisé, avant le 2ème tirage, l'urne est constituée de 8 boules noires et 2 blanches. On a donc : $P(B_2|B_1)=2/10$. Si $B_1$ et $B_2$ sont réalisés, avant le 3è tirage, l'urne est constituée de 9 boules noires et 1 blanche. On en déduit $P(B_3|B_1\cap B_2)=1/10$. Finalement : $$P(B_1\cap B_2\cap B_3)=\frac 6{1000}=\frac 3 {500}.$$

La formule des probabilités composées apparait pour la première fois en 1718 dans un ouvrage de De Moivre nommé Doctrine of Chance.