Un anneau $A$ est principal s'il est commutatif, unitaire, intègre, et si tous ses idéaux sont principaux (c'est-à-dire qu'ils sont engendrés par un seul élément).

Théorème : Tout anneau principal est factoriel et noethérien.

Exemple :

  • Les anneaux $\mathbb Z$ et $\mathbb R[X]$ sont principaux. Plus généralement, tout anneau euclidien est principal.
  • L'anneau $\mathbb Z[(1+i\sqrt{19})/2]$ est principal, mais il n'est pas euclidien.
  • L'anneau $\mathbb Z[X]$ n'est pas principal.
  • Si $A$ est un anneau, $A[X,Y]$ n'est jamais principal.