Un idéal propre $I$ d'un anneau commutatif $A$ est premier si, pour tous éléments $a,b$ de $A$, si $ab$ est élément de $I$, alors ou $a$ est élément de $I$, ou $b$ est élément de $I$. Ceci revient à dire que l'anneau quotient $A/I$ est intègre, et cela permet de généraliser la notion de nombre premier à des anneaux plus compliqués que $\mathbb Z$ ou $\mathbb K[X].$

Exemples :

  • Dans $\mathbb Z$, l'idéal $n\mathbb Z,$ $n\in\mathbb N,$ est premier si et seulement si $n=0$ ou $n$ est un nombre premier.
  • Dans $\mathbb K[X],$ l'idéal engendré par $P\in\mathbb K[X],$ $P\neq 0,$ est premier si et seulement si $P$ est irréductible.
  • Dans $\mathbb Z[X],$ l'idéal $I$ engendré par $2$ et $3X$ n'est pas premier : $3X+6=3(X+2)$ est élément de $I,$ mais ni $3$ ni $X+2$ n'est élément de $I.$
  • Les idéaux premiers de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ sont les $d\mathbb Z/n\mathbb Z$ où $d$ est un nombre premier qui divise $n.$
  • Les idéaux premiers de $\mathbb Z[X]$ sont $\{0\}$, les idéaux qui s'écrivent $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible (éventuellement constant) et ceux qui s'écrivent $(p, P)$ où $p$ est un nombre premier et $P$ un polynôme unitaire irréductible modulo $p.$
  • L'idéal nul $\{0\}$ est premier si et seulement si $A$ est intègre.

Les idéaux maximaux sont liés aux idéaux premiers par le théorème suivant :

Théorème : Soit $A$ un anneau commutatif. Alors tout idéal maximal de $A$ est premier. Réciproquement, si $A$ est principal, tout idéal premier non réduit à $\{0\}$ est maximal.