Dans un anneau commutatif, un élément $p$ est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit $ab$ divisible par $p,$ l'un des deux facteurs $a$ ou $b$ est divisible par $p.$

Dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel, ces deux notions sont équivalentes. En particulier, dans $\mathbb Z$, les éléments premiers positifs sont les nombres premiers au sens usuel de l'arithmétique.

Proposition :

Dans un anneau commutatif, un élément $p$ est premier si et seulement si l'idéal $(p)$ est premier non nul.
Dans un anneau intègre, un idéal principal non nul est premier si et seulement s'il est engendré par un élément premier.
Dans un anneau factoriel, tout idéal premier non nul contient un élément premier.