Un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ est appelé polynôme de Hurwitz si toutes ses racines sont de partie réelle strictement négative. On a la caractérisation suivante des polynômes de Hurwitz :

Théorème : Soit $P\in\mathbb R[X]$ écrit sous forme factorisée $P(X)=\prod_{k=1}^n (X-z_k)$. Soit $Q$ le polynôme dont les racines sont les sommes deux à deux des racines de $P$ : $$Q(X)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\big(X-(z_i+z_j)\big).$$ Alors $P$ est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de $P$ et de $Q$ sont strictement positifs.

On dit aussi qu'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une matrice de Hurwitz si toutes ses valeurs propres ont une partie réelle strictement négative. Ces matrices sont utilisées dans la théorie des équations différentielles. Si $A$ est une telle matrice, alors la solution nulle est une solution asymptotiquement stable du système différentiel $x'=Ax$ : toute solution $x$ vérifie $x(t)\to 0$ quand $t\to+\infty.$