Théorème : Soit $F:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction continue et intégrable sur $\mathbb R$. On définit sa transformée de Fourier par : $$\hat F(x)=\int_{\mathbb R}e^{-2\pi ixt}f(t)dt.$$ On suppose en outre que $F$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\left\{ \begin{array}l \displaystyle \exists M>0,\ \exists\alpha>1,\ \forall x\in\mathbb R, |F(x)|\leq M/(1+|x|^\alpha),\\ \displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z}|\hat F(n)|<+\infty. \end{array}\right.$$ Alors on a : $$\sum_{n\in\mathbb Z}\hat F(n)=\sum_{n\in\mathbb Z}F(n).$$

Cette formule magnifique, qui relie les valeurs entières d'une fonction et de sa transformée de Fourier, a de nombreuses applications, notamment en théorie des nombres où elle permet de calculer les sommes de certaines fonctions arithmétiques.