En d'autres termes, la somme des degrés des sommets d'un graphe non orienté est le double de son ordre. Cette formule vient du fait que l'on peut dénombrer de deux façons différentes le nombre des extrémités des arêtes d'un graphe, d'une part comme le double du nombre d'arêtes (chaque arête ayant deux extrémités), d'autre part comme la somme des degrés des sommets. En particulier, tout graphe régulier de degré $d$ à $n$ sommets possède $\frac{nd}{2}$ arêtes.

Une conséquence immédiate de ce résultat est le lemme des poignées de main :

Autrement dit, dans une réunion de plusieurs personnes dont certaines se serrent la main, un nombre pair de personnes devra serrer un nombre impair de fois la main d'autres personnes.

Ces deux résultat a été démontré par Euler dans son célèbre article de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg.