Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d'une base $\mathcal B_1=(e_1,\dots,e_n)$ et d'une base $\mathcal B_2=(f_1,\dots,f_n)$. On appelle matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$ la matrice carrée de taille $n$ dont la $j$-ième colonne est formée des coordonnées de $f_j$ dans la base $\mathcal B_1$. Autrement dit, la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$ est la matrice des nouveaux vecteurs de base exprimés en fonction des anciens.

Ex : Dans $\mathbb R^2$, la matrice de passage de la base canonique à la base $(u,v)$ avec $u=(2,3)$ et $v=(4,5)$ est : $$\left(\begin{array}{rcl} 2&4\\ 3&5 \end{array}\right).$$

La matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$ permet de relier les coordonnées d'un vecteur dans $\mathcal B_1$ à celles dans $\mathcal B_2$.

Proposition : Soit $w$ un vecteur de $E$, $X_1$ ses coordonnées dans $\mathcal B_1$, $X_2$ ses coordonnées dans $\mathcal B_2$ et soit $P_{1,2}$ la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$. Alors on a : $$X_1=P_{1,2}X_2.$$

Les matrices de passage sont aussi utiles pour obtenir les formules de changement de base d'une application linéaire :

Théorème : Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$, $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ deux bases de $F$. Soit encore $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On note

$A$ la matrice de $f$ dans les bases $\mathcal B_1$ (au départ) et $\mathcal C_1$ (à l'arrivée);
$B$ la matrice de $f$ dans les bases $\mathcal B_2$ (au départ) et $\mathcal C_2$ (à l'arrivée);
$P$ la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$;
$Q$ la matrice de passage de $\mathcal C_1$ à $\mathcal C_2$.

Alors on a la relation : $$A=QBP^{-1}$$ qu'on peut encore écrire $B=Q^{-1}AP.$

On utilise le plus souvent cette relation lorsque l'application linéaire $f$ est un endomorphisme de $E$, c'est-à-dire une application linéaire de $E$ dans $E$. Dans ce cas, si

$A$ est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal B$,
$B$ est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal C$,
$P$ est la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal C$,

alors les matrices sont reliées par la formule : $$A=PBP^{-1}\iff B=P^{-1}AP.$$