Paraboloïde elliptique

On appelle paraboloïde elliptique de l'espace euclidien toute surface $S$ pour laquelle il existe un repère orthonormé $(A,\vec u,\vec v,\vec w)$ dans lequel $S$ admet pour équation $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz$$ où $a,b,p>0.$ Un paraboloïde elliptique est donc une des cinq quadriques propres.

Un paraboloïde elliptique vérifie les propriétés suivantes :

l'intersection avec le plan $y=0$ est une parabole.
l'intersection avec un plan $z=z_0$ est soit vide, soit une ellipse, soit un point.
si a=b, le paraboloïde est une surface de révolution autour de $(A,\vec w).$

Un paraboloïde elliptique admet le paramétrage suivant : $$(t,\theta)\mapsto \left(at\cos\theta,bt\sin\theta,\frac{t^2}{2p}\right).$$

Paraboloïde hyperbolique

On appelle paraboloïde hyperbolique de l'espace euclidien toute surface $S$ pour laquelle il existe un repère orthonormé $(A,\vec u,\vec v,\vec w)$ dans lequel $S$ admet pour équation : $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz$$ où $a,b,p>0.$ Un paraboloïde hyperbolique est donc une des cinq quadriques propres.

Un paraboloïde hyperbolique vérifie les propriétés suivantes :

l'intersection avec le plan $y=0$ est une parabole.
l'intersection avec un plan $z=z_0$ est soit vide, soit une hyperbole, soit deux droites.
un paraboloïde hyperbolique est une surface réglée.

Un paraboloïde hyperbolique admet le paramétrage suivant : $$(t,u)\mapsto \left(\frac{a(t+u)}2,\frac{b(t-u)}2,\frac{tu}{2p}\right).$$