Cycloïde

La cycloïde est la courbe décrite par un point $M$ fixe sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite $(Ox)$ :

Si le cercle est de rayon $R>0$, l'équation paramétrique d'une cycloïde est $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=R(t-\sin(t))\\ y(t)&=R(1-\cos(t)). \end{array} \right.$$ Une arche de cycloïde a pour longueur $8R$ et pour aire $3\pi R^2.$

Une courbe cycloïdale est une courbe décrite par un point fixe $M$ d'un cercle de rayon $r$ qui roule sans glisser sur un autre cercle de rayon $R.$ On distingue essentiellement deux cas, suivant que le cercle roule à l'intérieur - on obtient une hypocycloïde ou à l'extérieur du cercle - épicycloïde.

L'équation paramétrique d'une hypocycloïde est : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=(R-r)\cos(t)+r\cos\left(\frac{R-r}rt\right)\\ y(t)&=(R-r)\sin(t)-r\sin\left(\frac{R-r}rt\right). \end{array} \right.$$ Celle d'une épicycloïde est : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=(R+r)\cos(t)-r\cos\left(\frac{R+r}rt\right)\\ y(t)&=(R+r)\sin(t)-r\sin\left(\frac{R+r}rt\right). \end{array} \right.$$

Des cas particuliers des hypocycloides ou épicycloïdes sont :