Fonction de Weierstrass

On appelle fonction de Weierstrass la fonction définie par $$f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} a^k \cos(b^k \pi x)$$ où $0<a<1$ et $b$ est un entier impair vérifiant $ab>(1+3\pi/2)$. Cette fonction a été mise en lumière par le mathématicien allemand Karl Weierstrass comme exemple de fonction continue sur $\mathbb R$ mais dérivable en aucun point.

Grâce à l'appliquette Geogebra suivante, vous pouvez faire apparaître successivement les 4 premières sommes partielles et comprendre pourquoi la somme de la série sera nulle part dérivable : à chaque terme ajouté, on ajoute de très nombreuses oscillations!

Il est facile par un argument de convergence uniforme de démontrer que cette fonction est continue partout. C'est nettement plus difficile de démontrer qu'elle n'est dérivable en aucun point. Les hypothèses de Weierstrass ne sont pas d'ailleurs pas optimales. Au XXè siècle, Hardy a en effet prouvé que la condition $ab\geq 1$ suffisait pour que la fonction ne soit dérivable en aucun point. Réciproquement, si $ab<1$, alors la fonction est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$.

Cette découverte de Weierstrass étonna beaucoup de ses contemporains. Ainsi, dans une lettre à Thomas Stieltjes datant de 1893, Charles Hermite écrivait «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui sont sans dérivée». Pourtant, si Weierstrass fut le premier à publier (et donc à populariser) un exemple de fonction continue et nulle part dérivable, Bolzano (vers 1834) et Riemann (vers 1861) avaient déjà produit des constructions similaires.