Théorèmes de Weierstrass (analyse complexe)
En analyse complexe, la terminologie "théorème de Weierstrass" désigne deux théorèmes concernant les fonctions holomorphes. Le premier se rapporte aux suites de fonctions holomorphes :
Théorème :
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert $U$ de $\mathbb C$ qui converge uniformément
sur les parties compactes de $U$ vers une fonction $f.$ Alors $f$ est holomorphe dans $U,$ et pour tout $k\in\mathbb N,$
la suite des dérivées $k$-ième $(f_n^{(k)})$ converge uniformément sur les compacts
de $U$ vers $f^{(k)}$.
Bien sûr, ce théorème peut s'appliquer également aux séries de fonctions $\sum_n f_n$ qui convergent uniformément sur les parties compactes de $U.$
Le second concerne les zéros des fonctions holomorphes. D'après le principe des zéros isolés, on sait que l'ensemble des zéros d'une fonction holomorphe dans $U$ est un ensemble fermé et discret dans $U$. Le théorème de reconstruction de Weierstrass permet de faire le chemin en sens inverse.
Théorème :
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C,$ et soit $S$ un ensemble fermé et discret de $U.$ Pour tout $a$ de $S,$
choisissons un entier $m_a>0.$
Alors il existe une fonction $f$ holomorphe sur $U$ ayant un zéro de multiplicité $m_a$ en chaque point $a$ de $S,$ et ne s'annulant
pas en dehors de $S.$
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