Théorème de Weierstrass (approximation par des polynômes)
Théorème :
Toute fonction continue sur un segment à valeurs dans $\mathbb C$ est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales sur ce segment.
Autrement dit, pour toute fonction $f:[a,b]\to\mathbb C$ continue, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un polynôme $P$ tel que : $$\forall x\in[a,b],\ |f(x)-P(x)|<\veps.$$
Il existe également une version pour les fonctions périodiques où on approche uniformément par des polynômes trigonométriques.
Théorème :
Toute fonction continue $2\pi$-périodique de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ est limite uniforme sur $\mathbb R$ d'une suite de polynômes trigonométriques.
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