Waring (problème de)
Au cours du XVIIIè siècle, Lagrange prouve que tout entier naturel est somme de 4 carrés. Waring, lui, prouve que tout entier naturel est somme de 9 cubes. Ces résultats poussent Waring à formuler la conjecture suivante :
Conjecture de Waring :
Pour tout entier naturel $n\geq 2,$ il existe un entier naturel $r$ tel que
tout entier naturel s'écrive comme la somme d'au plus $r$ puissances $n$-èmes d'entiers.
Ainsi, pour $n=2,$ le résultat de Lagrange signifie qu'on peut choisir $r=4,$ pour $n=3$, le résultat de Waring entraine que l'on peut prendre $r=9.$ Il faudra attendre 1909 pour que David Hilbert prouve cette conjecture. À la suite de Hilbert, Hardy, Littlewood et Vinogradov essaieront d'estimer le plus petit entier naturel r pour lequel la décomposition ci-dessus est possible.
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