Formule de Wallis
La formule de Wallis est l'expression de $2/\pi$ sous la forme d'un produit infini : $$\frac 2{\pi}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)$$ qu'on peut encore écrire $$\pi=2\times\frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot 8\cdots}{3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot 9\cdots}.$$
Cette formule apparait dans le livre Arithmetica infinitorum
publié par Wallis en 1652, lorsqu'il cherche à calculer l'aire du quart de cercle, c'est-à-dire à prouver que
$$\int_0^1 (1-x^2)^{1/2}dx=\frac\pi 4.$$
Il établit la formule précédente à l'aide des intégrales $\int_0^1 (1-x^2)^0dx$
et $\int_0^1 (1-x^2)^1dx$ qu'il sait calculer, et grâce à une méthode (ardue !)
d'interpolation.
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