Lemme de recouvrement de Vitali
Les lemmes de recouvrement de Vitali sont des résultats de recouvrement de certains ensembles dont les dilatées par un rapport fixe sont disjointes. Dans la suite, si $B=B(x,r)$ est une boule et $k>0$, $kB$ désigne la boule $B(x,kr)$.
Lemme de recouvrement de Vitali (version finie) :
Soit $(E,d)$ un espace métrique et soit $(B_i)_{i\in F}$ un ensemble fini de boules fermées de $(E,d)$.
Alors il existe $G\subset F$ tel que les boules $(B_j)_{j\in G}$ sont disjointes et
$$\bigcup_{i\in F}B_i\subset \bigcup_{j\in G}3B_j.$$
Lemme de recouvrement de Vitali (version infinie) :
Soit $(E,d)$ un espace métrique et soit $(B_i)_{i\in I}$ un ensemble de boules fermées de $(E,d)$
dont les rayons sont majorés par une même constante.
Alors il existe $G\subset F$ fini ou dénombrable tel que les boules $(B_j)_{j\in G}$ sont disjointes et
$$\bigcup_{i\in F}B_i\subset \bigcup_{j\in G}5B_j.$$
Dans le théorème précédent, on peut remplacer $5$ par n'importe quelle constante supérieure stricte à $3$ et on peut choisir de prendre des boules qui sont toutes ouvertes au lieu de boules qui sont toutes fermées.
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