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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Ensemble de Vitali

L'ensemble de Vitali est un exemple simple de partie de $\mathbb R$ qui n'est pas mesurable. Il est défini de la façon suivante : on définit une relation d'équivalence sur $\mathbb R$ par $x\sim y\iff x-y\in\mathbb Q.$ On considère $V$ une partie de $[0,1]$ qui contient un et un seul représentant de chaque classe d'équivalence pour cette relation. Alors $V$ n'est pas mesurable.

Il y a une difficulté cachée dans la formulation précédente. Existe-t-il une partie $V$ de $[0,1]$ qui contient un et un seul représentant de chaque classe d'équivalence? La construction d'un tel ensemble est équivalente à l'axiome du choix.

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