Variables et vecteurs aléatoires
Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé. On dit qu'une fonction $X:\Omega\to\mathbb R$ est une variable aléatoire (réelle) si, pour tout intervalle $I$ de $\mathbb R,$ $$X^{-1}(I)\in\mathcal A.$$ Un vecteur aléatoire est un $m$-uplet $(X_1,\dots,X_m)$ où chaque $X_i$ est une variable aléatoire.
Exemple :
- Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On tire avec remise deux boules de cette urne, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. $X$ est une variable aléatoire définie sur $\{B,N\}^2$ et qui vérifie $$ X((B,B))=2,\ X((B,N))=X((N,B))=1,\ X((N,N))=0.$$
- On lance un dé cubique, et on note $X$ le nombre de lancers avant d'obtenir un 4. $X$ est une variable aléatoire, qui peut prendre toute valeur de $\mathbb N.$
- Soit $A$ et $B$ des points de coordonnées respectives $(1,0)$ et $(1,1)$ dans un repère orthonormé. On tire un point au hasard dans $OAB,$ et on note $X$ son abscisse. $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $[0,1].$
- Une puce se déplace aléatoirement dans un disque de centre 0 et de rayon 1. On note $X$ et $Y$ ses abscisses et ordonnées. Alors $(X,Y)$ est un vecteur aléatoire réel.
On distingue essentiellement 3 types de variables aléatoires, suivant la nature de $X(\Omega)$, l'ensemble des valeurs prises par $X$ :
- $X(\Omega)$ est une partie finie de $\mathbb R$. On dit que $X$ est une variable aléatoire discrète finie (c'est le cas de l'exemple 1).
- $X(\Omega)$ est un sous-ensemble infini dénombrable de $\mathbb R$. On dit que $X$ est une variable aléatoire discrète infinie (c'est le cas de l'exemple 2).
- $X(\Omega)$ est une réunion finie ou dénombrable d'intervalles de $\mathbb R$, et $F,$ la fonction de répartition de $X,$ peut s'écrire sous la forme $$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$$ où $f$ est une fonction positive ou nulle. On dit que $X$ est une variable à densité. C'est le cas de l'exemple 3.
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