Spectre d'un endomorphisme
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel, $\lambda\in K$, $u\in\mathcal L(E)$. On dit que $\lambda$ est
- une valeur régulière de $u$ si $u-\lambda \textrm{Id}_E$ est inversible.
- une valeur spectrale de $u$ si $u-\lambda \textrm{Id}_E$ n'est pas inversible.
- une valeur propre de $u$ si $u-\lambda \textrm{Id}_E$ n'est pas injective. Dans ce cas, tout vecteur $x$ de $E$ non nul qui vérifie $u(x)=\lambda x$ s'appelle vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$.
Le spectre de $u$ est défini comme l'ensemble de ses valeurs spectrales. Si $E$ est de dimension finie, les valeurs propres et les valeurs spectrales sont les mêmes.
On définit pareillement une valeur régulière ou une valeur propre d'une matrice carrée $A$ de taille $n$ suivant que la matrice $A-\lambda I_n$ est inversible ou non.
L'étude des valeurs propres et des vecteurs propres d'une matrice est particulièrement importante pour obtenir des formes simples de celle-ci. C'est ce que l'on appelle la réduction des matrices.
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