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Théorème des valeurs intermédiaires - Dichotomie


Le théorème des valeurs intermédiaires est le résultat suivant :

Théorème : Soit $f : [a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, vérifiant $f(a)\leq 0$ et $f(b)\geq 0$. Alors il existe $c\in[a,b]$ vérifiant $f(c)=0$.

Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Remarquons que le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=0$, mais rien concernant l'unicité (penser par exemple à $\cos(x)=0$ sur l'intervalle $[0,5\pi]$. C'est aussi un théorème spécifique pour les fonctions à valeurs réelles. Il ne fonctionne pas par exemple avec la fonction $f(\theta)=e^{i\theta}$ entre $0$ et $\pi$.

Au cours du XVIIIè siècle, Clairaut, Lacroix et Lagrange ont chacun proposé une justification de la propriété de la valeur intermédiaire. Elles ne pouvaient correspondre à nous exigences de rigueur actuelles, puisque la notion de fonction était à peu ébauchée et celle de continuité n'était qu'intuitive. La première démonstration complète du théorème des valeurs intermédiaires, ne reposant pas sur l'intuition géométrique, est due à Bernhard Bolzano en 1817 qui donne également une définition précise de la notion de fonction continue. Il comprend aussi que l'existence de la borne supérieure d'une partie de $\mathbb R$ non vide et majorée est un argument essentiel pour conclure et ce faisant, il utilise implicitement qu'une suite de réels bornée possède une sous-suite convergente. Pour que la démonstration de Bolzano soit parfaitement rigoureuse, il faut qu'elle s'appuie sur une construction précise des nombres réels, ce qui sera fait environ 50 ans plus tard par Weierstrass.
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