Valeur absolue
D'un nombre réel
On appelle valeur absolue d'un nombre réel $x$ le nombre réel positif, noté $|x|$, qui est égal à :
- $x$ si $x$ est positif ou nul.
- $-x$, si $x$ est négatif.
Ainsi, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :
La fonction valeur absolue satisfait l'inégalité triangulaire : si $x,y\in\mathbb R$, on a $$|x+y|\leq |x|+|y|,$$ ce qui fait de $(\mathbb R,|\cdot|)$ un espace normé.
Sur un corps
Plus généralement, si $\mathbb K$ est un corps, une valeur absolue sur ce corps est une application $f:\mathbb K\to \mathbb R_+$ qui satisfait aux conditions :
- $f(x)=0\iff x=0$;
- $\forall (x,y)\in\mathbb K^2,\ f(xy)=f(x)f(y)$.
- $\forall (x,y)\in\mathbb K^2,\ f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.
En particulier, on a automatiquement $f(1)=f(-1)=1.$
Par exemple, sur le corps $\mathbb C$ des nombres complexes, le module est une valeur absolue.
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