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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Corps >

Tour d'extension quadratique, et applications à la constructibilité

On dit qu'une suite finie de corps $L_0,L_1,\dots,L_n$ est une tour d'extension quadratique si :

  • Chaque $L_i$ est contenu dans $L_{i+1}$.
  • Le degré de $L_{i+1}$ sur $L_i$ est 2.

Ces tours d'extension quadratique sont importantes pour déterminer les réels $t$ constructibles.

Théorème (Wantzel) : Un réel $t$ est constructible à la règle et au compas si, et seulement si, il existe une tour d'extension quadratique $L_0,L_1,\dots,L_n$ avec $L_0=\mathbb Q$ et $t\in L_n$.

On peut déduire de ce théorème une condition nécessaire pour qu'un nombre $a$ soit constructible : si le réel $a$ est constructible alors le degré de son polynôme minimal sur $\mathbb Q$ est une puissance de $2.$ Cette condition nécessaire permet (par sa contraposée) de démontrer que la duplication du cube et la trisection de l'angle ne sont pas réalisables à la règle et au compas. Toutefois, cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Par exemple, le polynôme $X^4 + 2X – 2$ est bien irréductible dans $\mathbb Q[X]$, de degré $4$, mais ses racines ne sont pas constructibles.

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